Puh, ich glaub, das war für jemanden, der noch nie eine Reihe gesehen hat, bestimmt ganz schön heftig ...
a) Die Anzahl der Tage ist die Summe aus 1 / (i * (i-1)) über i von 2 bis n, für 5 Elfen wäre es zB 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1). Diese Summe müssen wir nun für n gegen unendlich nach oben abschätzen.
Dazu schauen wir uns die Summanden mal genauer an:
1 / (n * (n-1) kann man auch schreiben als (n - (n-1))/(n * (n-1)), und das kann man wiederum in zwei Summanden zerlegen:
(n - (n-1)) / (n * (n-1)) = n / (n * (n-1)) - (n-1) / (n * (n-1)) = 1/(n-1) - 1/n.
Wir summieren für n Elfen also auf: 1/(n-1) - 1/n + 1/(n-2) - 1/(n-1) + 1/(n-3) - 1/(n-2) + .... + 1/2 - 1/3 + 1/1 - 1/2
Wir haben da eine gigantische Teleskopsumme, wo sich fast alles weghebt und nur der Term 1/1-1/n übrigbleibt. Geht n gegen unendlich, geht dieser Term gegen 1.
b) Hier summieren wir folgendes auf:
1/(n*n-1) + (1/(n*(n-1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) ) + (1/(n*(n-1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))) +....+ (1 / (n*(n+1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))+ .... + 1/(4*3) +1/(3*2 )) + 2*(1 / (n*(n+1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))+ .... + 1/(4*3) +1/(3*2 )+ 1/2*1).
Das müssen wir nochmal an einem Beispiel anschauen, nehmen wir wieder 5 Elfen:
#
Elf A bleibt 1/(5*4) Tage dort
Elf B bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) Tage dort
Elf C bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) Tage dort
Elf D bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) Tage dort
Elf E bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) Tage dort.
#
Alle bekommen einen entsprechenden Keksanteil, so dass wir die Summe aus den zwischen den beiden # aufgeführten Brüchen bilden müssen. Das geht folgendermaßen:
1(5*4) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1)
=5 * 1/(5*4) + 4 * 1/(4*3) + 3 * 1/(3*2) + 2*(1/2*1)
= 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1/1.
Es läuft also darauf heraus, dass wir für n Elfen die Brüche 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1) aufsummieren. Dies ist aber genau die harmonische Reihe, die für n gegen unendlich ebenfalls gegen unendlich geht. (Beweis zB hier: Erste Hilfe in Analysis | 4.5 Die harmonische Reihe – Oliver Deiser | aleph1).
Somit ist Antwort 6 richtig.
a) Die Anzahl der Tage ist die Summe aus 1 / (i * (i-1)) über i von 2 bis n, für 5 Elfen wäre es zB 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1). Diese Summe müssen wir nun für n gegen unendlich nach oben abschätzen.
Dazu schauen wir uns die Summanden mal genauer an:
1 / (n * (n-1) kann man auch schreiben als (n - (n-1))/(n * (n-1)), und das kann man wiederum in zwei Summanden zerlegen:
(n - (n-1)) / (n * (n-1)) = n / (n * (n-1)) - (n-1) / (n * (n-1)) = 1/(n-1) - 1/n.
Wir summieren für n Elfen also auf: 1/(n-1) - 1/n + 1/(n-2) - 1/(n-1) + 1/(n-3) - 1/(n-2) + .... + 1/2 - 1/3 + 1/1 - 1/2
Wir haben da eine gigantische Teleskopsumme, wo sich fast alles weghebt und nur der Term 1/1-1/n übrigbleibt. Geht n gegen unendlich, geht dieser Term gegen 1.
b) Hier summieren wir folgendes auf:
1/(n*n-1) + (1/(n*(n-1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) ) + (1/(n*(n-1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))) +....+ (1 / (n*(n+1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))+ .... + 1/(4*3) +1/(3*2 )) + 2*(1 / (n*(n+1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))+ .... + 1/(4*3) +1/(3*2 )+ 1/2*1).
Das müssen wir nochmal an einem Beispiel anschauen, nehmen wir wieder 5 Elfen:
#
Elf A bleibt 1/(5*4) Tage dort
Elf B bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) Tage dort
Elf C bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) Tage dort
Elf D bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) Tage dort
Elf E bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) Tage dort.
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Alle bekommen einen entsprechenden Keksanteil, so dass wir die Summe aus den zwischen den beiden # aufgeführten Brüchen bilden müssen. Das geht folgendermaßen:
1(5*4) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1)
=5 * 1/(5*4) + 4 * 1/(4*3) + 3 * 1/(3*2) + 2*(1/2*1)
= 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1/1.
Es läuft also darauf heraus, dass wir für n Elfen die Brüche 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1) aufsummieren. Dies ist aber genau die harmonische Reihe, die für n gegen unendlich ebenfalls gegen unendlich geht. (Beweis zB hier: Erste Hilfe in Analysis | 4.5 Die harmonische Reihe – Oliver Deiser | aleph1).
Somit ist Antwort 6 richtig.