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Lösung Aufgabe 13 - Martina - 01-01-2024 Puh, ich glaub, das war für jemanden, der noch nie eine Reihe gesehen hat, bestimmt ganz schön heftig ... a) Die Anzahl der Tage ist die Summe aus 1 / (i * (i-1)) über i von 2 bis n, für 5 Elfen wäre es zB 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1). Diese Summe müssen wir nun für n gegen unendlich nach oben abschätzen. Dazu schauen wir uns die Summanden mal genauer an: 1 / (n * (n-1) kann man auch schreiben als (n - (n-1))/(n * (n-1)), und das kann man wiederum in zwei Summanden zerlegen: (n - (n-1)) / (n * (n-1)) = n / (n * (n-1)) - (n-1) / (n * (n-1)) = 1/(n-1) - 1/n. Wir summieren für n Elfen also auf: 1/(n-1) - 1/n + 1/(n-2) - 1/(n-1) + 1/(n-3) - 1/(n-2) + .... + 1/2 - 1/3 + 1/1 - 1/2 Wir haben da eine gigantische Teleskopsumme, wo sich fast alles weghebt und nur der Term 1/1-1/n übrigbleibt. Geht n gegen unendlich, geht dieser Term gegen 1. b) Hier summieren wir folgendes auf: 1/(n*n-1) + (1/(n*(n-1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) ) + (1/(n*(n-1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))) +....+ (1 / (n*(n+1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))+ .... + 1/(4*3) +1/(3*2 )) + 2*(1 / (n*(n+1) + 1/ ((n-1)*(n-2)) + 1/ ((n-2)*(n-3))+ .... + 1/(4*3) +1/(3*2 )+ 1/2*1). Das müssen wir nochmal an einem Beispiel anschauen, nehmen wir wieder 5 Elfen: # Elf A bleibt 1/(5*4) Tage dort Elf B bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) Tage dort Elf C bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) Tage dort Elf D bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) Tage dort Elf E bleibt 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) Tage dort. # Alle bekommen einen entsprechenden Keksanteil, so dass wir die Summe aus den zwischen den beiden # aufgeführten Brüchen bilden müssen. Das geht folgendermaßen: 1(5*4) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) + 1/(5*4) + 1/(4*3) + 1/(3*2) + 1/(2*1) =5 * 1/(5*4) + 4 * 1/(4*3) + 3 * 1/(3*2) + 2*(1/2*1) = 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1/1. Es läuft also darauf heraus, dass wir für n Elfen die Brüche 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1) aufsummieren. Dies ist aber genau die harmonische Reihe, die für n gegen unendlich ebenfalls gegen unendlich geht. (Beweis zB hier: Erste Hilfe in Analysis | 4.5 Die harmonische Reihe – Oliver Deiser | aleph1). Somit ist Antwort 6 richtig. RE: Lösung Aufgabe 13 - Fanbusfahrer - 01-01-2024 Der echte Beweis ist heftig und auch ohne Reihenwissen kaum zu stemmen. Meine Lösung benutzt einen Taschenrechner, wenngleich ich das mit etwas Zeit auch noch beweisen hätte können. Danke für deine Lösung. Die Summe für das Bestimmen der Zeit t für n ist allgemein: ∑_(i=2)^∞▒1/(i∙(i-1) )=1 Als Beispiel kann man auch ∑_(i=2)^10▒1/(i∙(i-1) )=9/10 durchrechnen Man erkennt, dass für große n diese Summe gegen 1 strebt. Der Grenzwert ist 1. t kann also im schlimmsten Fall nahe 1 sein. Damit kann k aber unendlich groß werden, da sich k aus k=n∙t ergibt… Korrekt ist damit Antwort 6. RE: Lösung Aufgabe 13 - Mathe Juergen - 01-01-2024 Ich bin im Prinzip wie Martina vorgegangen. Es ist wirklich von Vorteil, wenn man hier die Partialbruchzerlegung und den Trick bei "Teleskopsummen" kennt. Zudem wird heute in der Schule leider kaum mehr über die harmonische Reihe gesprochen, die ja das klassische Gegenbeispiel für eine Nullfolge ist, deren Reihe nicht konvergiert. |