Bezeichnet man zwei benachbarte Zahlen mit a und b, dann lassen sich die folgenden Zahlen auf dem Kranz rekursiv darstellen. Dabei stellt man fest, dass die 9. und 10. Zahl wieder a und b sind. Somit hat die allgemeine Lösung eine Periode von 8 Ornamenten. Dies Summe dieser 8 Ornamente ist unabhängig von a und b immer gleich 3. Damit gibt es für n=2024 Ornamente eine eindeutige Lösung mit Summe 759. Im Spezialfall a=1/2 (blau) und b=1/4 (rot) wechseln sich 1/2 und 1/4 immer paarweise ab. Dieses Muster hat dann eine Periode von 2 und lässt sich auch im Fall n=2026 realisieren. Die Summe aller Zahlen ist dann 759,75. Somit ist Antwort 10 richtig: In beiden Fällen gibt es eine eindeutige Summe.
Ich habe zunächst mal im "Kleinen" probiert und habe mit n = 6 begonnen. Dort findet man schnell die Reihung 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4. Es gilt ja 1/2 * 1/2 = 1/4 und 1/4 + 1/4 = 1/2.
Das ändert sich auch nicht, falls man n um 2 erhöht und die Reihe entsprechend fortsetzt.
Für n_1= 2024 erhält man jeweils 1012 Mal die Zahlen 1/2 und 1/4 ==> s_1 = 1012 * 3/4 = 759
Für n_2= 2026 erhält man entsprechend: s_2 = 1013 * 3/4 = 759, 75
Somit ergibt sich eine Gesamtsumme s = s_1 + s_2 = 1518, 75 ==> Antwort 10
Ich habe mich auch für 10 entschieden, aber mir fehlt da noch der Beweis, dass nicht evtl. doch entweder 5 oder 6 richtig ist… Es gibt schließlich recht viele positive und negative reelle Zahlen, so dass in dem einen oder anderen Kranz evtl. eine andere Summe als 759 bzw. 759,75 rauskommen kann?!
(12-26-2025, 03:43 PM)Raaadi schrieb: Ich habe mich auch für 10 entschieden, aber mir fehlt da noch der Beweis, dass nicht evtl. doch entweder 5 oder 6 richtig ist… Es gibt schließlich recht viele positive und negative reelle Zahlen, so dass in dem einen oder anderen Kranz evtl. eine andere Summe als 759 bzw. 759,75 rauskommen kann?!
Nein, denn für beliebige, von Null verschiedene Anfangszahlen a und b beträgt die Periode höchstens 8 und die Summe hängt nicht von a und b ab, siehe WolframAlpha.
Übrigens ist "recht viele" eine nette Umschreibung für "überabzählbar unendlich viele".
Wenn man mit den Zahlen "a" für das erste Summen-Ornament und "b" für das erste Produkt-Ornament anfängt, kann man die darauffolgenden Zahlen entsprechend mit b/a, b/a-b... bestimmen, und kommt beim neunten bzw. zehnten Element (nach ein bisschen Umformung) wieder a und b heraus, damit ist die Periode der Länge acht schon mal
klar. Wenn man dann die acht Elemente der Periode addiert, lässt sich das zu (3-3a)/(1-a)=3 zusammenfassen.
Damit funktioniert auf jeden Fall schon mal die 2024 und die Summe ist 3/8*2024=759.
Und damit war ich mir erstmal sicher, dass nur eine Länge funktioniert, hier aber die Summe fix ist. Glücklicherweise gab es diese Antwortmöglichkeit nicht. Also musste es zwingend doch auch eine Möglichkeit für die Länge 2026 geben. Eine Periodenlänge von acht geht hier aber sicher nicht, also konnte es bei Primfaktoren 2x1013 nur eine Länge von 2 sein, und das funktioniert nur dann, wenn 2*a=b und b²=a gilt. Und tatsächlich gibt es hierdoch eine Möglichkeit (1/2 und 1/4), was dann auch gleichzeitig bedeutet, dass die Summe bei den 2026 Elementen genau um 1/2+1/4 größer sein muss, als bei den 2024 Elementen (denn die Summe 3 pro 8 Elemente gilt ja trotzdem).
For n = 2026 = 2 * 1013, only a repeated pattern of length 2 would work, and you can solve it as the system { n1 * n1 = n2; n2 + n2 = n1 } to find the values 1/2; 1/4, which give us a sum of 759.75 for whole arrangement.
For n = 2024 = 2 * 2 * 2 * 253, that sequence would work, too, but other periods like 4 or 8 could be possible, too. I tried to do some guesswork first, to see if I can find other sequences (by starting with two numbers and continuing the sequence, to see if it eventually loops), and found some other examples, like { 1; -1; -2; 2; 4; 2; -2; -1 }, so for n = 2024 the arrangement is not unique.
(12-27-2025, 05:57 PM)daExile schrieb: I answered 6.
For n = 2026 = 2 * 1013, only a repeated pattern of length 2 would work, and you can solve it as the system { n1 * n1 = n2; n2 + n2 = n1 } to find the values 1/2; 1/4, which give us a sum of 759.75 for whole arrangement.
For n = 2024 = 2 * 2 * 2 * 253, that sequence would work, too, but other periods like 4 or 8 could be possible, too. I tried to do some guesswork first, to see if I can find other sequences (by starting with two numbers and continuing the sequence, to see if it eventually loops), and found some other examples, like { 1; -1; -2; 2; 4; 2; -2; -1 }, so for n = 2024 the arrangement is not unique.
Your {} sums to 3. As the Periode fits 253 times in 2024, the total sum in 3*253=759.
(12-27-2025, 05:57 PM)daExile schrieb: other periods like 4 or 8 could be possible, too. I tried to do some guesswork first, to see if I can find other sequences (by starting with two numbers and continuing the sequence, to see if it eventually loops), and found some other examples, like { 1; -1; -2; 2; 4; 2; -2; -1 }, so for n = 2024 the arrangement is not unique.
Correct, your example for an eight-element-period works too, as well as countless other eight-element-periods, but all of them have in common, that the sum of the eight elements is 3, and so the sum of all 2024 elements ist 759...
(12-27-2025, 07:40 PM)Kosakenzipfel schrieb: Your {} sums to 3. As the Periode fits 253 times in 2024, the total sum in 3*253=759.
Ohh, you're right. I didn't think about it this way, that the sequences might be different but the sum will stay the same. Checked some other sequence I found and yeah, it's the same. Well, it's one more wrong answer, then
