5 Lösung / Solution

[Estela]

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Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 12-12-2025, 04:05 PM von Estela.

[mbert]

Übertragen in die Gruppentheorie lautet die Frage: Wie viele erzeugende Elemente besitzt die zyklische Gruppe der Ordnung n?
Die Antwort liefert die Eulersche Phi-Funktion (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Phi-Funktion). Sie gibt die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen von 1 bis n an. Hat man eine natürliche Zahl a in ihre Primfaktoren zerlegt, kann φ(a) leicht berechnet werden. Für die richtige Antwort 164 haben wir:
φ(2² * 41) = φ(2²) * φ(41) = 2 * φ(2) * φ(41) = 2 * 1 * 40 = 80.
Da φ nicht injektiv ist, kann es keine Umkehrfunktion geben. Ein Beispiel hierfür ist φ(123) = 80.

[Sipalman]

Übertragen in die Gruppentheorie lautet die Frage: Wie viele erzeugende Elemente besitzt die zyklische Gruppe der Ordnung n?
Die Antwort liefert die Eulersche Phi-Funktion (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Phi-Funktion). Sie gibt die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen von 1 bis n an. Hat man eine natürliche Zahl a in ihre Primfaktoren zerlegt, kann φ(a) leicht berechnet werden. Für die richtige Antwort 164 haben wir:
φ(2² * 41) = φ(2²) * φ(41) = 2 * φ(2) * φ(41) = 2 * 1 * 40 = 80.
Da φ nicht injektiv ist, kann es keine Umkehrfunktion geben. Ein Beispiel hierfür ist φ(123) = 80.

So hab ich es auch gemacht. Das ist aber kein Schulstoff Klasse 10. Zyklische Gruppen mit Ordnungen und die Eulersche Phi-Funktion ist bei mir auf der Uni Stoff von Semester 2 (Mathe 2)

[Abraxas]

Es geht auch für mathematische Laien recht einfach. Der Tipp mit der Primzahlzerlegung war ja sogar dabei (wäre nicht unbedingt nötig gewesen).

Geklatscht wir immer in den Runden, bei denen k kein Teiler der Anzahl der Elfen auf Arbeit ist.

164=2x2x41

Bei 164 Elfen werden 163 Runden gespielt, davon müssen alle geraden Runden abgezogen werden sowie die ungeraden Vielfachen von 41 (41 und 123). Bleiben 80 Runden übrig, bei denen geklatscht wird.

[Noname_MM]

Man kann sich überlegen, dass nur bei teilerfremden Zahlen, alle jeweils einmal den Ball bekommen. Wenn man dann alle möglichen Lösungen durchgeht und sich über die Primfaktorzerlegung die Teiler und deren Vielfache anschaut (z.B. wenn 2 ein Teiler ist, sind auch alle geraden Zahlen nicht teilerfremd, was die Hälfte aller möglichen Runden ist), kann man per Ausschlussprinzip die richtige Lösung finden. Das ist auch mit dem Wissen einer 10. Klasse möglich

[DFU]

Und man kann für den Weihnachtsmann nur hoffen, dass die Anzahlen in der Gruppe selten Primzahlen sind, denn dann dauert bei diesen Gruppengrößen die Pause doch recht lang.