(12-13-2024, 04:39 PM)marac schrieb: Die Wahrscheinlichkeit p, aus dem Wald herauszufinden, ist
p = 1/3 + 2/3*p²
(1/3, dass ich direkt rauskomme, plus 2/3, dass ich einen falschen Weg nehme, von dort aus es aber zweimal schaffe, den Weg zurück zu finden)
Das lässt sich auflösen zu p1=1 und p2=1/2, und dass p=1 in dem Fall ausscheidet, ergibt sich trivial, ich kann mich ja blöd anstellen und jedes mal tiefer in den unendlichen Wald laufen.
So hab ich es auch gemacht - aber p=1 hatte ich von vorneherein ausgeschlossen, soviel wusste ich immerhin über Irrfahrten.
Dein Argument zeigt, dass es nicht ausgeschlossen ist, nie herauszufinden - aber die Wahrscheinlichkeit könnte trotzdem 0 sein (ohne Zusatzargument).
Diesen sehr schnellen Ansatz: p = 1/3 + 2/3*p² hatte ich auch als erstes im Kopf, ihm dann aber nicht vertraut, da es ja unendlich viel mehr Wege aus dem Wald gibt als diese beiden!!
Das Ergebnis gibt dem Ansatz anscheinend Recht, finde es aber nach wie vor nicht 100% schlüssig??!! wer kann das wasserfest begründen, dass der Ansatz stimmt und man quasi unendlich viele andere Wege rauszukommen ignorieren kann?
Ich hatte ja ein anderes recht schnelles Verfahren über die Steigung entdeckt (das war dann wasserdicht: https://www.dropbox.com/scl/fi/y106dx28b...nwgkw&dl=0) bzw die Hammermethode mit der unendlichen Reihe und den Catalanzahlen mit Rechenknecht. Schön, dass es hier so viele verschiedene Lösungswege gibt.
(12-13-2024, 04:39 PM)marac schrieb: Die Wahrscheinlichkeit p, aus dem Wald herauszufinden, ist
p = 1/3 + 2/3*p²
(1/3, dass ich direkt rauskomme, plus 2/3, dass ich einen falschen Weg nehme, von dort aus es aber zweimal schaffe, den Weg zurück zu finden)
Das lässt sich auflösen zu p1=1 und p2=1/2, und dass p=1 in dem Fall ausscheidet, ergibt sich trivial, ich kann mich ja blöd anstellen und jedes mal tiefer in den unendlichen Wald laufen.
So hab ich es auch gemacht - aber p=1 hatte ich von vorneherein ausgeschlossen, soviel wusste ich immerhin über Irrfahrten.
Dein Argument zeigt, dass es nicht ausgeschlossen ist, nie herauszufinden - aber die Wahrscheinlichkeit könnte trotzdem 0 sein (ohne Zusatzargument).
Diesen sehr schnellen Ansatz: p = 1/3 + 2/3*p² hatte ich auch als erstes im Kopf, ihm dann aber nicht vertraut, da es ja unendlich viel mehr Wege aus dem Wald gibt als diese beiden!!
Das Ergebnis gibt dem Ansatz anscheinend Recht, finde es aber nach wie vor nicht 100% schlüssig??!! wer kann das wasserfest begründen, dass der Ansatz stimmt und man quasi unendlich viele andere Wege rauszukommen ignorieren kann?
Ich hatte ja ein anderes recht schnelles Verfahren über die Steigung entdeckt (das war dann wasserdicht: https://www.dropbox.com/scl/fi/y106dx28b...nwgkw&dl=0) bzw die Hammermethode mit der unendlichen Reihe und den Catalanzahlen mit Rechenknecht. Schön, dass es hier so viele verschiedene Lösungswege gibt.
Ich denk schon, dass der Ansatz wasserdicht ist, auch wie es bereits beschrieben ist. Ich probiere es gerne auch nochmal:
Auch wenn es unendlich viele Wege und Lichtungen gibt, kann man das Problem auf eindimensional schrumpfen. Es ist egal auf welcher Lichtung man steht, es zählt nur der Abstand vom Ausgang. Und von einer Lichtung mit Abstand n hat man die Wahrscheinlichkeit P(n) rauszukommen. Und dann kann man auch schreiben P(n)=1/3*P(n-1)+2/3*P(n+1), weil rechts das Ergebnis nach einem weiteren Schritt steht (das ist deine gleichung 2). Und dann kann man den Ansatz P(n)=a^n probieren. Das führt zu der quadratischen Gleichung in a und rechtfertigt so den Ansatz.
Der Trick besteht offenbar im Lösen der iterativen Gleichung, auch wenn ich selber länger zum aufstellen brauchte. Ich hatte da einen kleinen Vorteil. Wir Physiker kennen ja eh nur den Ansatz exp(a*n), und ich hatte Dusel, dass der passte. Das ist gleichwertig, aber in einem mathekalender ist a^n schöner.
P(0) ist per Konstruktion richtig, also =1.
Die gesuchte Lösung ist P(1)=a. Da die Gleichung zwei Lösungen hat, nämlich 0.5 und 1, muss man noch eine ausschließen. Das geht mit irgendeiner der bereits beschriebenen Methoden.
Ich sehe nicht, wo die Argumentation eine Lücke hat.
(01-12-2025, 10:11 PM)pierrot schrieb: Diesen sehr schnellen Ansatz: p = 1/3 + 2/3*p² hatte ich auch als erstes im Kopf, ihm dann aber nicht vertraut, da es ja unendlich viel mehr Wege aus dem Wald gibt als diese beiden!!
Das Ergebnis gibt dem Ansatz anscheinend Recht, finde es aber nach wie vor nicht 100% schlüssig??!! wer kann das wasserfest begründen, dass der Ansatz stimmt und man quasi unendlich viele andere Wege rauszukommen ignorieren kann?
Ich hatte ja ein anderes recht schnelles Verfahren über die Steigung entdeckt (das war dann wasserdicht: https://www.dropbox.com/scl/fi/y106dx28b...nwgkw&dl=0) bzw die Hammermethode mit der unendlichen Reihe und den Catalanzahlen mit Rechenknecht. Schön, dass es hier so viele verschiedene Lösungswege gibt.
Der Ansatz betrachtet nicht nur zwei Wege. Vermutlich meinst du damit die Wege "direkt raus" und "einmal tiefer rein und dann zweimal raus".
Das ist aber nicht so. p bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, jemals wieder eine Stufe nach oben zu kommen. Und das können ziemlich viele Wege sein.
Man braucht aber nur zwei Lichtungsebenen zu betrachen: Die Startebene, und die eins tiefer.
Die Wahrscheinlichkeit, jemals herauszukommen, ist die Wahrscheinlichkeit für "direkt raus" (also hier nicht "jemals", sondern "direkt"!) + "eins tiefer, jemals eins raus, und dann nochmal jemals eins raus".
Also p = 1/3 + 2/3 * p * p.
