Für die Fälle 1-3 fand man recht schnell ein Beispiel (leider kann man hier keine Fotos einstellen). Für Fall 4 habe ich eine Begründung versucht, weil ich keinen Beweis (außer mit der Formel von Pick) finden konnte.
Code:
Wenn auf dem Rand 18 Gitterpunkte liegen sollen und im Inneren keiner, so muss ein Vieleck vorliegen, was die Höhe 1 nicht überschreitet. Ein Dreieck kann es dann aber nicht sein, weil dies bei einem Flächeninhalt von 9 20 Gitterpunkte benötigen würde, da sich dadurch eine Breite von 18 und eine Höhe von 1 erzielen lassen würde. Ähnlich müsste man beim Trapez argumentieren können.