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Lösungsdiskussion 2024 - DFUx - 12-30-2024
Durch Ausprobieren habe ich schnell festgestellt, welches die richtige Lösung ist. Den Beweis lieferte dann der Satz von Pick.
RE: Lösungsdiskussion 2024 - Fanbusfahrer - 12-30-2024
Für die Fälle 1-3 fand man recht schnell ein Beispiel (leider kann man hier keine Fotos einstellen). Für Fall 4 habe ich eine Begründung versucht, weil ich keinen Beweis (außer mit der Formel von Pick) finden konnte.
Code:
Wenn auf dem Rand 18 Gitterpunkte liegen sollen und im Inneren keiner, so muss ein Vieleck vorliegen, was die Höhe 1 nicht überschreitet. Ein Dreieck kann es dann aber nicht sein, weil dies bei einem Flächeninhalt von 9 20 Gitterpunkte benötigen würde, da sich dadurch eine Breite von 18 und eine Höhe von 1 erzielen lassen würde. Ähnlich müsste man beim Trapez argumentieren können.RE: Lösungsdiskussion 2024 - marac - 12-30-2024
(12-30-2024, 06:01 PM)Fanbusfahrer schrieb: Wenn auf dem Rand 18 Gitterpunkte liegen sollen und im Inneren keiner, so muss ein Vieleck vorliegen, was die Höhe 1 nicht überschreitet. Ein Dreieck kann es dann aber nicht sein, weil dies bei einem Flächeninhalt von 9 20 Gitterpunkte benötigen würde, da sich dadurch eine Breite von 18 und eine Höhe von 1 erzielen lassen würde. Ähnlich müsste man beim Trapez argumentieren können.
Jo, so in etwa hab ich das auch: Keine Innengitterpunkte -> eine Ausdehnung darf nicht größer 1 sein. Als Rechteck bekomme ich bei 18 Gitterpunkten auf dem Rand ein 1x8-Rechteck (Fläche 8), bei einem Dreieck 1x16 (Fläche 8). Bei einem Trapez gilt Fläche = (Summe der parallelen Seiten)/2*Höhe, auch hier komme ich - egal wie ich aufteile - auf Fläche 8.
- Da fällt mir auf: Das Dreieck ist ja streng genommen ein Trapez mit unten Länge 16 und oben Länge 0 -> da stimmt die Flächenformel für das Trapez dann ja auch
Ach ja, für die anderen drei Karten lassen sich problemlos Beispiele finden:
1: Rechteck 3x9
2: diagonal geschnittene Karte 1
3: Dreieck, bei dem auf den Seiten keine weiteren Kreuzungspunkte liegen, z.B. A=(0,0), B=(10,1), C=(1,2)
RE: Lösungsdiskussion 2024 - pierrot - 12-31-2024
Durch diese Aufgaben bin ich auf den mir bis dato unbekannten und oben bereits zitierten Satz von Pick gestoßen. Sehr hübsch und wie ich meine erst mal total überraschend: Man kann Flächen in Gitterpolynomen durch reines Abzählen von Gitterpunkten berechnen: mittels der Anzahl an Innen- und Randpunkten - genial.
Aber auch ohne diesen Satz war die Aufgabe sehr gut lösbar, fängt man bei den ersten beiden Tripeln mit dem gegebenen Flächeninhalt 27 bzw. die Hälfte davon 13,5 an (und nicht mit Rand oder Innenpunkten, da könnte man sich schnell verfranzen).
PFZ von 27=3*9: versucht man es nun mit der einfachsten Form, dem Rechteck entlang den Gitterlinien, ist man schon am Ziel: U=2*(3+9)=24, passt ja gleich.
Für den halben Flächeninhalt bietet sich dann direkt die diagonale Halbierung dieses Rechtecks an -> und es passt auch.
Für das dritte Tripel sieht man schon, dass es ein Dreieck sein muss: nur drei Außenpunkte. Hier bin ich über die 9 Innenpunkte gegangen, die ich solange als Klumpen verschoben habe, bis ich sie mit einem Dreieck umschließen konnte, dessen Seiten außer den Eckpunkten keine weiteren Gitterpunkte schneiden. Über Pythagoras konnte man dann den Flächeninhalt 9,5 nachrechnen (Das Dreieck in ein Quadrat einbetten).
Für das vierte Tripel stellt man schnell fest, dass das Polygon entlang einer Spalte bzw. Zeile liegen muss (0 Innenpunkte), somit Höhe 1 hat. Dies legt wiederum wiederum den Flächeninhalt direkt fest: bei 18 Randgitterpunkten immer FE=8 statt 9. Man switcht sozusagen nur Randpunkte auf die gegenüberliegende Seite…
Hier in einer Skizze festgehalten:
https://www.dropbox.com/scl/fi/sqlt3b8zrg0nj2cy8zjlu/18-Geschenkkarten-Satz-von-Pick-Gitterpolygone.jpeg?rlkey=x78sx8psnpau1lq6pxm2aa2sf&st=jfk35rax&dl=0
RE: Lösungsdiskussion 2024 - DerAlteHeinz - 01-01-2025
Statt mit dem langweiligen Rechteck kann man es aber auch so lösen:
![[Bild: MK_2024_18.jpg?rlkey=dubtnah2wg3w9lmderi...z00rd&dl=0]](https://www.dropbox.com/scl/fi/6fh1khv6cgp6c8f7mjfbm/MK_2024_18.jpg?rlkey=dubtnah2wg3w9lmderi7srqnq&st=0m0z00rd&dl=0)
Euch Allen ein gutes und gesundes Neues Jahr!
RE: Lösungsdiskussion 2024 - pierrot - 01-01-2025
(01-01-2025, 10:57 AM)DerAlteHeinz schrieb: Statt mit dem langweiligen Rechteck kann man es aber auch so lösen:
Euch Allen ein gutes und gesundes Neues Jahr!
Deine Grafik wird nicht angezeigt: es erscheint nur obiges blaues Fragezeichen.
RE: Lösungsdiskussion 2024 - DerAlteHeinz - 01-01-2025
Sorry, ich sehe kein blaues Fragezeichen, sondern eine URL. Und die geht bei mir (im Browser am Smartphone). Hat das noch jemand?
Hier nochmal die blanke URL:
https://www.dropbox.com/scl/fi/6fh1khv6cgp6c8f7mjfbm/MK_2024_18.jpg?rlkey=dubtnah2wg3w9lmderi7srqnq&st=evj7vf3g&dl=0
RE: Lösungsdiskussion 2024 - Linsen_mit_Spatzle - 01-01-2025
(01-01-2025, 05:43 PM)DerAlteHeinz schrieb: Sorry, ich sehe kein blaues Fragezeichen, sondern eine URL. Und die geht bei mir (im Browser am Smartphone). Hat das noch jemand?
Hier nochmal die blanke URL:
https://www.dropbox.com/scl/fi/6fh1khv6cgp6c8f7mjfbm/MK_2024_18.jpg?rlkey=dubtnah2wg3w9lmderi7srqnq&st=evj7vf3g&dl=0
Bei mir funktionieren beide Links. Sehr hübsch!
RE: Lösungsdiskussion 2024 - DerAlteHeinz - 01-01-2025
Dankeschön!
RE: Lösungsdiskussion 2024 - Kosakenzipfel - 01-01-2025
(01-01-2025, 05:43 PM)DerAlteHeinz schrieb: ... (im Browser am Smartphone). Hat das noch jemand?Äh ja, ich dachte damit bin ich auf dem Stand der Technik. Kandidieren ich damit etwa schon wieder zum Dinosaurier des Jahres?
Sehr schöne Idee, die Punkte zu verteilen. Passt zur ki Aufgabe.