Von mir ein Lösungsvorschlag mit Spektraltheorie:
Das mit dem 2D ignoriere ich dabei gar nicht erst.
Viele andere einfache Details lasse ich im Folgenden weg.
Nach Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung und Einführung eines Spaltenvektors q_t = (x_t v_t)^T lautet die Iteration
q_{t+1} = M q_t
mit einer 2x2 Matrix M
( 1-a -1/2 )
( -a -1/2 )
Also ist offensichtlich q_t = M^t q_0.
Wir werden gleich sehen:
i) M ist diagonalisierbar, mit zwei verschiedenen reellen Eigenwerten (EW) m_1 und m_2,
von denen je einer positiv bzw. negativ ist: m_1 < 0 < m_2
ii) Genau für 0<a<1 ist der Betrag beider Eigenwerte kleiner als Eins,
so dass M^t für t nach Unendlich gegen die Nullmatrix geht, womit auch insbesondere v_t gegen Null strebt.
Ein Rentier mit einem derartigen a wird und bleibt beliebig langsam im Sinne der Aufgabe.
Zur Bestimmung der EW von M führt das Vorgehen nach Schema F mit dem charakteristischen Polynom von M
auf eine quadratische Gleichung; wir kürzen ab im Sinne von Vieta:
Produkt und Summe der Eigenwerte von M sind
Determinante und Spur (Tr von engl. trace, Summe der Diagonalelemente von M) von M und leicht zu berechnen:
m_1 * m_2 = det M = ... = -1/2.
m_1 + m_2 = Tr M = 1-a + (-1/2) = 1/2 - a
woraus sofort i) folgt.
Für a=1/2 ist Tr M = 0, somit sind die Eigenwerte +- \sqrt(1/2), also vom Betrag her kleiner als Eins.
a=1/2 liegt also im gesuchten Bereich.
Da die EW offenbar stetig von a abhängen und jeweils einer für a nach plus/minus Unendlich auch ins Unendliche verschwindet,
ergeben sich die in ii) behaupteten Grenzen des gefragten „Einfangbereichs“ wie folgt:
a) m_1 = -1 liefert m_2 = 1/2 und m_1 + m_2 = -1/2, woraus a = 1 folgt.
b) m_2 = +1 ergibt m_1 = -1/2 und m_1 + m_2 = 1/2, woraus a = 0 folgt.
(um zu zeigen, dass für a>1 (steht in den Antwortmöglichkeiten nicht zur Verfügung und
a<=0 ist explizit in der Aufgabe ausgeschlossen),
das Rentier wirklich wegrennt, muss man nun nur noch sehen, dass q_0 =(1 0)^T kein Eigenvektor von M ist...)
PS: Wie die Aufgabe mit Schulstoff und den angegebenen Betragsungleichungen schön zu lösen ist, weiß ich leider noch nicht.
PPS: Mich haben auch viele Aspekte an der Aufgabenstellung gestört; einige wurden schon im Feedbackforum angesprochen.
PPPS: Es wäre wirklich schön, wenn man im Lösungsforum Formeln so eingeben könnte, dass sie auch nett dargestellt werden.
PPPPS: Ansonsten hat mir auch diese Aufgabe viel Spaß bereitet.
Das mit dem 2D ignoriere ich dabei gar nicht erst.
Viele andere einfache Details lasse ich im Folgenden weg.
Nach Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung und Einführung eines Spaltenvektors q_t = (x_t v_t)^T lautet die Iteration
q_{t+1} = M q_t
mit einer 2x2 Matrix M
( 1-a -1/2 )
( -a -1/2 )
Also ist offensichtlich q_t = M^t q_0.
Wir werden gleich sehen:
i) M ist diagonalisierbar, mit zwei verschiedenen reellen Eigenwerten (EW) m_1 und m_2,
von denen je einer positiv bzw. negativ ist: m_1 < 0 < m_2
ii) Genau für 0<a<1 ist der Betrag beider Eigenwerte kleiner als Eins,
so dass M^t für t nach Unendlich gegen die Nullmatrix geht, womit auch insbesondere v_t gegen Null strebt.
Ein Rentier mit einem derartigen a wird und bleibt beliebig langsam im Sinne der Aufgabe.
Zur Bestimmung der EW von M führt das Vorgehen nach Schema F mit dem charakteristischen Polynom von M
auf eine quadratische Gleichung; wir kürzen ab im Sinne von Vieta:
Produkt und Summe der Eigenwerte von M sind
Determinante und Spur (Tr von engl. trace, Summe der Diagonalelemente von M) von M und leicht zu berechnen:
m_1 * m_2 = det M = ... = -1/2.
m_1 + m_2 = Tr M = 1-a + (-1/2) = 1/2 - a
woraus sofort i) folgt.
Für a=1/2 ist Tr M = 0, somit sind die Eigenwerte +- \sqrt(1/2), also vom Betrag her kleiner als Eins.
a=1/2 liegt also im gesuchten Bereich.
Da die EW offenbar stetig von a abhängen und jeweils einer für a nach plus/minus Unendlich auch ins Unendliche verschwindet,
ergeben sich die in ii) behaupteten Grenzen des gefragten „Einfangbereichs“ wie folgt:
a) m_1 = -1 liefert m_2 = 1/2 und m_1 + m_2 = -1/2, woraus a = 1 folgt.
b) m_2 = +1 ergibt m_1 = -1/2 und m_1 + m_2 = 1/2, woraus a = 0 folgt.
(um zu zeigen, dass für a>1 (steht in den Antwortmöglichkeiten nicht zur Verfügung und
a<=0 ist explizit in der Aufgabe ausgeschlossen),
das Rentier wirklich wegrennt, muss man nun nur noch sehen, dass q_0 =(1 0)^T kein Eigenvektor von M ist...)
PS: Wie die Aufgabe mit Schulstoff und den angegebenen Betragsungleichungen schön zu lösen ist, weiß ich leider noch nicht.
PPS: Mich haben auch viele Aspekte an der Aufgabenstellung gestört; einige wurden schon im Feedbackforum angesprochen.
PPPS: Es wäre wirklich schön, wenn man im Lösungsforum Formeln so eingeben könnte, dass sie auch nett dargestellt werden.
PPPPS: Ansonsten hat mir auch diese Aufgabe viel Spaß bereitet.