Lösungsdiskussion - Druckversion

Code:

Wir betrachten die rekursive Folge der Geschwindigkeit.

|v_(t+1) |=|-0.5v_t-ax_t |≤0.5|v_t |+a|x_t |

Eine rekursive geometrische Folge konvergiert dann gegen Null, wenn sie die Form a∙x_t mit 0<a<1 hat. Da es sich um die Summer zweier geometrischer Reihen handelt, und beide Vorfaktoren das Kriterium erfüllen, konvergiert die gesamte rekursive Folge gegen Null, wenn 0<a<1 gilt. Für größere a wird die Reihe divergieren.

Code:

Gegeben ist die Iterationsvorschrift



\begin{eqnarray*}

    v_{t+1} & = & -0.5 v_t -a x_t \\

    x_{t+1} & = & x_t + v_{t+1}

\end{eqnarray*}



mit dem Angstwert $a>0$ als Parameter. Obwohl das Problem als zweidimensionale Vektorgleichungen definiert wurde, genügt es, nur eine Dimension zu betrachten, da aus der Anfangsbedingung $v_{0,1}=v_{0,2}$ und $x_{0,1}=x_{0,2}$ induktiv folgt, dass für alle Zeitschritte $t$   $v_{t,1}=v_{t,2}$ und $x_{t,1}=x_{t,2}$ gilt.



Daher seien im Folgenden $v_t$ und $x_t$ reelle Zahlen. Offenbar ist $v=0$ und $x=0$ ein Fixpunkt dieser Iteration, denn es gilt



\begin{eqnarray*}

    0 & = & -0.5 \cdot 0 -a \cdot 0 \\

    0 & = & 0 + 0 \quad .

\end{eqnarray*}



Sei

\[

||(v,x)|| = |v| + |x| \quad 

\]

eine Abstandsnorm. 



Nach Banachschem Fixpunktsatz ist $(0,0)$ der einzige Fixpunkt, wenn gilt

\[

||(v_{t+1},x_{t+1})-(0,0)|| < ||(v_{t},x_{t})-(0,0)|| 

\]

oder äquivalent

\[

||(v_{t+1},x_{t+1})|| < ||(v_{t},x_{t})|| \quad .

\]



Daraus folgt

\[

|v_{t+1}| +|x_{t+1}| < |v_{t}| + |x_{t}|

\]



\[

|v_{t+1}| + |x_t + v_{t+1}| < |v_t| \cdot |x_t|

\]



\[

|-0.5 v_t -a x_t| + |x_t -0.5 v_t -a x_t| < |v_t| + |x_t|

\]



\[

|0.5 v_t + a x_t| + |0.5 v_t + a x_t - x_t| < |v_t| + |x_t|

\]



\[

|0.5 v_t + a x_t| + |0.5 v_t + (a-1) x_t| < |v_t| + |x_t|

\]



Mit der Dreiecksungleichung $|x+y|\leq|x|+|y|$ gilt die letzte Ungleichung mindestens dann, wenn man die linke Seite nach oben abschätzt. Falls $x$ und $y$ verschiedene Vorzeichen haben, dann gilt sogar $|x+y|<|x|+|y|$. Dies sei als $|x+y|=|x|+|y|-\delta$ mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters $\delta$ ausgedrückt, der null ist, wenn beide Terme gleiches Vorzeichen haben, und eine positive Zahl ist, wenn sie unterschiedliches Vorzeichen haben. 



\[

|0.5 v_t| + |a x_t| + |0.5 v_t| + |(a-1) x_t| - \delta < |v_t| + |x_t|

\]



Einer der beiden Summanden $a x_t$ bzw.\ $(a-1) x_t$ hat genau dann ein anderes Vorzeichen als $0.5 v_t$, wenn $0<a<1$ ist.



\[

0.5 |v_t| + a |x_t| + 0.5 |v_t| + |a-1|  |x_t| - \delta < |v_t| + |x_t|

\]



\[

|v_t| + \left( a + |a-1| \right) |x_t| - \delta < |v_t| + |x_t|

\]



Das ist wahr für alle Werte von $v_t$ und $x_t$, wenn



\[

 a + |a-1|  - \delta < 1 \quad .

\]



Dies ist nicht erfüllt, wenn $a>1$, da dann $\delta=0$ und $a+|a-1| > a > 1$ gilt. 

Für $0<a<1$ hingegen ist $\delta>0$ und $|a-1|=1-a$ und somit

\[

1-\delta < 1

\]

eine wahre Aussage.



Damit ist bewiesen, dass für $0<a<1$ die Iterationsvorschrift genau einen Fixpunkt besitzt und sich das Rentier an einem Punkt fangen lässt.