Ich werfe mal - ohne jede Überzeugung - die Lösung 2 in den Raum. Die Formen bestehen aus 5 bzw 8 Quadraten. Zahlenmäßig könnte man damit jedes Rechteck darstellen, mir ist es aber nicht gelungen mit nur diesen Stücken überhaupt irgendein Rechteck zu formen, das komplett ist und bei dem nichts übersteht. (Zumindest mit der Form aus 8 Quadraten) Ohne das 8 Quadrat große Stück ist keine der angegebenen Lösungen machbar
Ich habe viel herumprobiert, aber ich konnte auch kein Rechteck zusammenbauen, welches die Wasserpistolenform beinhaltet, welche nötig ist für eine Lösung. Ich hoffe einfach, dass keine der Lösungen möglich ist und Antwort 10 richtig. Lösung 2 halte ich aber eher für unwahrscheinlich, da 2029 eine Primzahl ist und 2021 auch die eher ungünstige Primfaktorzerlegung 43*47 hat. Wahrscheinlicher wirken für mich Kandidaten wie 1, 4 oder 5, da bei diesen es viele verschiedene Möglichkeiten für ein Rechteck gäbe, mit welchem sich die Fläche auffüllen liese. Dass ein sehr großes Rechteck existiert, halte ich auch für eher unwahrscheinlich, da dieses dann wahrscheinlich eine gewisse Regelmäßigkeit hätte und das mir nicht möglich scheint.
Also Zusammengefasst: Ich vermute Lösung 10, beweisen konnte ich das aber trotz mehrerer Versuche leider nicht.
Wenn es eine gäbe, hielte ich aber Lösung 9 für die wahrscheinlichste, weil dieses Rechteck eine einzigartige Wasserpistolenanzahl benötigt. Wenn ich ein Rechteck mit drei Wasserpistolen legen könnte, könnte ich vermutlich auch die beiden anderen legen, die mindestens drei Wasserpistolen benötigen.
Ich hab auch keine Möglichkeit gefunden, eine untere Kante zu legen. Und erst recht nicht die beiden unteren Ecken. Daher habe ich auch Antwort 10 geraten. Persönlich mag ich Aufgaben nicht, bei denen es keine Lösung gibt, weil man bei denen beliebig lange rumprobieren kann.
Ich bin auf Lösung Nr. 10 gekommen. Meine (hoffentlich richtige) Idee: Man färbt die Fläche in diagonalen Streifen mit 5 Farben. Dann sind in allen Pentominos alle 5 Farben enthalten. Die Fläche mit 8 Felder enthält 1x Farbe1, 3x Farbe 2, 2x Farbe 3, 2x Farbe 4. Jedes Teilrechteck mit mind. einer durch 5 teilbaren Seite enthält jede Farbe als Vielfaches von 5, daher genügt es, die Rechteck 1x1 bis 4x4 zu betrachten. In allen diesen Fällen ist es aber nicht möglich, die Anzahl der Farben als geeignete Vielfache der obigen Verteilung eines 8er Feldes zu erzeugen. So enthält z. Bsp. ein 2x3 Rechteck genau 2 Farben doppelt und genau 2 (andere) Farben einfach, aber nur die Farben 3+4 kommen gleich häufig im 8er Feld vor.
Ich bin auf Antwort 10 gekommen - keine der angegebenen Rechtecke lässt sich auslegen.
Die Schlüsselidee dahinter ist folgende: Man färbe das Geschenkpapier in 5 verschiedenen Farben, z. B. rot, gelb, grün, blau, lila. Immer in dieser Reihenfolge in jeder Zeile. In der darunter liegenden Zeile wird das Muster um ein Feld nach rechts verschoben. Mit dieser Färbung überdecken die 4 Teile a 5 Quadraten jede Farbe genau einmal. Während das 8-Quadrate-Teil eine Farbe einmal, eine Farbe dreimal, zwei Farben zweimal und die verbleibende Farbe gar nicht enthält. Je nach Position kann ich dies in vektorieller Form als (1,3,2,2,0), (3,2,2,0,1), (2,2,0,1,3), (2,0,1,3,2) oder (0,1,3,2,2) schreiben.
Da keine der Antwortmöglichkeiten eine durch 5 teilbare Anzahl an Quadraten aufweist, bräuchte man mindestens ein 8er-Teil. Um die Anzahl überzähliger Farben zu bestimmen, muss man nur den Rest betrachten, der in dem Rechteck (m mod 5)*(n mod 5) liegt. Diese überzähligen Farben kann ich wieder als Vektoren darstellen:
1*1 : (1,0,0,0,0)
1*2 : (1,1,0,0,0)
etc.
2*2 : (2,1,0,0,1)
2*3 : (2,2,1,0,1)
etc.
Keiner dieser Vektoren enthält zwei Zahlen mit einer Differenz größer als 2.
Mit einem Python-Programm, das ich später posten kann, habe ich überprüft, ob man die 5 obigen Vektoren so kombinieren kann, dass einer der untenstehen Vektoren plus einer beliebigen Anzahl an (1,1,1,1,1)-Vektoren erhalten wird. Jedoch habe ich keine solche Lösung erhalten, da ich entweder nur Vektoren mit gleichen Zahlen (d. h. die Anzahl der 8er-Teile wäre durch 5 teilbar) oder Vektoren, die eine Mindestdifferenz von 3 aufweisen, erhalten habe. Somit kann es keine Parkettierung geben, wenn m und n nicht durch 5 teilbar sind.
Dass niemand ein Beispiel für eine Füllung finden konnte, ist ja nicht verwunderlich. Man kann ja durch Verwendung der geraden Stücke Streifen der Breite 5 und beliebiger Höhe bzw. Streifen der Höhe 5 und beliebiger Breite legen. Deswegen war ja auch keine der in den Lösungsmöglichkeiten angegebenen Zahlen durch 5 teilbar, wäre sonst zu einfach gewesen. Antwort 1. kann also nicht richtig sein, da dann auch Antwort 2 richtig wäre. Das ist natürlich nur ein "Meta-Argument", das verwendet, dass genau eine der angegebenen Lösungen richtig ist.
Angenommen, es gäbe ein Rechteck mit eine Breite <= 505. Dann kann man sich leicht überlegen, dass durch Verwendung von Vielfachen davon und einer geeigneten Anzahl von 5er-Streifen alle in den Lösungsmöglichkeiten angegebenen Breiten produziert werden könnten. Ähnliches gilt für die Höhen m. Falls es also tatsächlich ein Rechteck gibt, das ausgelegt werden kann, muss es in mindestens einer Richtung sehr groß sein ...
Ich glaube auch, dass durch Einfärben des Rechtecks (senkrechte Streifen, waagerechte Streifen, diagonale Streifen, jeweils mit 5 Farben) sich die Lösungen 5, 8 und 9 ausschließen lassen. Weiter bin ich aber nicht gekommen.
Noch ein Meta-Argument: wenn man durch weitere Färbemethoden alle Lösungen bis auf eine ausschließen könnte, müsste man ja immer noch zeigen, dass die Parkettierung möglich ist. Das scheitert dann m. E. an der schieren Größe, siehe oben. Deshalb habe ich mich für Lösung 10 entschieden.
(Gestern, 06:36 PM)WolfgangR schrieb: Ich bin auf Lösung Nr. 10 gekommen. Meine (hoffentlich richtige) Idee: Man färbt die Fläche in diagonalen Streifen mit 5 Farben. Dann sind in allen Pentominos alle 5 Farben enthalten. Die Fläche mit 8 Felder enthält 1x Farbe1, 3x Farbe 2, 2x Farbe 3, 2x Farbe 4. Jedes Teilrechteck mit mind. einer durch 5 teilbaren Seite enthält jede Farbe als Vielfaches von 5, daher genügt es, die Rechteck 1x1 bis 4x4 zu betrachten. In allen diesen Fällen ist es aber nicht möglich, die Anzahl der Farben als geeignete Vielfache der obigen Verteilung eines 8er Feldes zu erzeugen. So enthält z. Bsp. ein 2x3 Rechteck genau 2 Farben doppelt und genau 2 (andere) Farben einfach, aber nur die Farben 3+4 kommen gleich häufig im 8er Feld vor.
Das überzeugt mich noch nicht: bei der 8er-Figur muss man doch noch berücksichtigen, wie sie liegt, also welche Farbe die linke obere Ecke hat. Wenn man mehrere der 8er-Figuren mit verschiedenen Ausgangspositionen hat, kann doch viele verschiedene Farbsummen erzeugen ...
Meine vielversprechendste Idee war ähnlich der von WolfgangR, nur dass ich keine fünf Farben genommen habe, sondern ganze Zahlen von -2 bis 2, so dass die 5er-Flächen immer eine Summe 0 abgedeckt haben, die 8er dagegen -6, -3, 1, 3 oder 5. Dann hatte ich ebenfalls unter der Maßgabe, dass ja eine durch 5 teilbare Zeilen- sowie eine durch 5 teilbare Spaltenzahl eine Punktesumme 0 erhalten würde, die Punktesumme auf dem verbleibenden 0x0 bis 4x4-Rechteck gebildet, das dann ja identisch mit der Punktesumme des gesamten Rechtecks übereinstimmt.
Damit hatte ich zwei Kriterien, die jeweils passen müssen: Gesamtfläche des Rechtecks muss durch x*5+y*8 darstellbar sein, wobei bei y zusätzlich die Punktesumme darstellbar sein muss.
Aber das hat mir leider nicht wirklich weitergeholfen.
Die Primzahlen als Zeilen- oder Spaltenanzahl hätte ich auch spontan aus dem Bauch ausgeschlossen, weil ich mir dachte, entweder gibt es eine saubere Begründung, dass es gar nicht geht, oder es gibt ein "handlicheres" Rechteck, in dem es passt und das dann entsprechend in die große Fläche vermehrt werden kann, aber am Ende blieb mir doch nur noch raten ;(
Wolfgangs Begründung am Ende überzeugt mich nicht wirklich, denn rein von der Gesamtfläche her könnten ja 8 5er durch 5 8er ersetzt werden, und würden damit die Farben verändern, weshalb es meiner Ansicht nach für die Farben nicht reicht, nur das kleine Rest-Rechteck zu betrachten.
