(12-11-2025, 04:13 PM)pierrot schrieb: Was ne schöne Aufgabe! Teil 1 war ja von letztem Jahr noch bekannt.
Hier ein Lösungsvorschlag mit 3x Pythagoras..
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Hallo pierrot,
dein Link zum Dropbox-Ordner enthielt leider auch Lösungsvorschläge von Aufgaben, die noch aktuell zur Abgabe offen sind. Deswegen musste ich ihn hier entfernen.
Die Fläche des Teigrings lässt sich durch die Angabe der Sehne bestimmen. Zeichnet man den Radius des äußeren Kreises (Kreis 1)vom Kreismittelpunkt zum Punkt B und die des inneren Kreises (Kreis 2) vom Kreismittelpunkt zum Berührpunkt in der Mitte zwischen A und B, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und mit Hilfe des Satz des Pythagoras den Zusammenhang $r_1^2 = 18^2 + r_2^2$
Mit diesem Zusammenhang ergibt sich für die Fläche $A = \pi (r_1^2 - r_2^2) = 18^2 \pi$
Wir diese Fläche nun zu einem neuen Kreis (Kreis 4) ausgerollt, hat dieser den Mittelpunkt M und den Radius $R = 18$.
Der obere ausgestochene Kreis hat den Radius $0,5 \cdot R$.
Ich habe dann mein Koordinatensystem in den Mittelpunkt M der Teigfläche gelegt. Wenn nun der rechte kleinere Kreis (Kreis 5), den Radius $r$ und den Mittelpunkt $M_5$ hat und der Punkt P, als Berührpunkt auf dem Kreis um M mit Radus R liegt, muss der Punkt $M_5$ auf einem Kreis um M mit Radius R-r = 18-r liegen.
Daher gilt für die Koordinaten von $M_5(x|y)$ $x^2+y^2=(18-r)^2$. In meinem Koordinatensystem ist $x=r$ und $y = 9-\sqrt{(9-r)^2-r^2}$, da sie um den Radius des oberen ausgestochenen Kreises kleiner ist als die Höhe im gleichschenkligen Dreieck der Mittelpunkte der drei Kreise.
Wenn man die Koordinaten in die Gleichung einsetzt, erhält man als Lösung 0 und 8, daher ist 8 die Lösung für die kleineren Radien r.
Damit ergibt sich in der Aufgabe Antwortmöglichkeit 2.
(12-11-2025, 04:13 PM)pierrot schrieb: Was ne schöne Aufgabe! Teil 1 war ja von letztem Jahr noch bekannt.
Hier ein Lösungsvorschlag mit 3x Pythagoras..
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Hallo pierrot,
dein Link zum Dropbox-Ordner enthielt leider auch Lösungsvorschläge von Aufgaben, die noch aktuell zur Abgabe offen sind. Deswegen musste ich ihn hier entfernen.
Der erste Teil hat mich sofort an die Videos "Fünf auf einen Schlag" und "Cool, aber unbekannt: Visuelle Analysis" von Professor Edmund Weitz erinnert: Lässt man die halbe Tangente (eine Seite vom Berührungspunkt) einmal um den Innenkreis herum rotieren, so überstreicht sie die gleiche Fläche wie ein gleich langer Radius eines Vollkreis, der um den Mittelpunkt rotiert.
Ich habe zuerst auch mit dem Pythagoras gearbeitet, um auf das Ergebnis r=8 für die beiden inneren Kreise zu kommen. Die Rechnung damit sah mir allerdings nicht elegant aus.
Schöner geht es mit dem Satz von Descartes
Der äußere Kreis hat eine Krümmung von -1/18, der erste Kreis 1/9 und die beiden gesuchten Kreise 1/r. Dann gilt:
(-1/18+1/9+2/r)^2 = 2*(1/18^2+1/9^2+2*1/r^2)
Den zweiten Teil der Aufgabe habe ich mithilfe der Formel für Soddy-Kreise (hab ich gegoogelt) berechnet. War aber klar, dass es irgendwie eleganter gehen muss…
(12-11-2025, 04:13 PM)pierrot schrieb: Was ne schöne Aufgabe! Teil 1 war ja von letztem Jahr noch bekannt.
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Hallo pierrot,
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Oh noch mehr Geometrie aufgaben. Ich freu mich jetzt schon drauf.
(12-11-2025, 04:51 PM)st1974 schrieb: Ich habe zuerst auch mit dem Pythagoras gearbeitet, um auf das Ergebnis r=8 für die beiden inneren Kreise zu kommen. Die Rechnung damit sah mir allerdings nicht elegant aus.
Schöner geht es mit dem Satz von Descartes
Der äußere Kreis hat eine Krümmung von -1/18, der erste Kreis 1/9 und die beiden gesuchten Kreise 1/r. Dann gilt:
(-1/18+1/9+2/r)^2 = 2*(1/18^2+1/9^2+2*1/r^2)
Zu dem 4-Kreise-Satz von Descartes gibt es sogar ein schönes Gedicht namens "The Kiss Precise", welches in der Zeitschrift Nature veröffentlicht wurde:
Four circles to the kissing come
The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance from the center. Though their intrigue left Euclid dumb, There's now no need for rule of thumb. Since zero bend's a dead straight line, And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum.
Interessant ist übrigens auch die folgende Verallgemeinerung:
Gegeben zwei ineinanderliegende Kreise und eine Folge von Kreisen K_1,..., K_n, die folgende Bedingungen erfüllen:
Für i = 1,...,n ist K_i tangential zu den ineinanderliegenden Kreisen
Für i = 1,...,n-1 ist K_i tangential zu K_i-1 und K_i+1
K_n ist tangential zu K_n-1 und K1
(Man kann zeigen, dass es entweder unendlich viele solcher Folgen gibt zu einem gegebenen n oder aber gar keine Folge (Steiner Porism))
Dann ist die Summe der Kehrwerte der Radien unabhängig von der Wahl der Folge von K_1,...,K_n. Gleiches gilt auch für die Summe der Quadrate usw. bis zur Summe der (n-1)-ten Potenzen.
