Lösungsdiskussion #20

[marac]

Das sich die "Blasen" immer alle auflösen kann ich nicht ganz nachvollziehen. Anna kann (in deiner Schreibweise) immer eine "0" nach links schicken und diese "0" kann theoretisch (zwar mit kleiner Wahrscheinlichkeit) bis zur Position rechts neben Max wandern. Es können also doch jeder Zeit "neue" Blasen entstehen, selbst wenn diese sich "zwischendurch" mal aufgelöst haben.

Die Blase kann eben nicht wandern, sondern sich nur ausbreiten. Wenn sich der Wichtel links neben der Null zufällig dazu entschieden hat, die Meinung seines rechten Nachbarn (also die 0) zu übernehmen, wie soll rechts davon wieder jemand eine 1 bekommen? Somit bleiben die Meinungen immer sortiert, sobald sie mal sortiert sind, nur die Grenze zwischen den Meinungen kann sich noch verschieben.

[pierrot]

Antwort 7 war durchaus verlockend, allerdings übersieht man hier, dass es nur 6 stabile blasenfreie Zustände gibt. Mit Blase meine ich: dass eine 0 von 1 ern umgeben ist oder andersherum … die Blasen lösen sich aber alle auf!!
Interessant und wie ich meine nicht trivial ist der Umstand, dass die 6 entstehenden Endzustände echt gleichverteilt sind. Ich habe das mit einer übergangsmatrix, Markovkette gezeigt. Juchhu Markov die dritte !!! Kam die letzten Jahr leider gar nicht dran. 

Eine der beste Aufgaben!! Vielen Dank dafür. 

Hier mein Lösungsvorschlag ausführlich:
https://www.dropbox.com/scl/fi/as49f4ngv...zjsr3&dl=0

Das sich die "Blasen" immer alle auflösen kann ich nicht ganz nachvollziehen. Anna kann (in deiner Schreibweise) immer eine "0" nach links schicken und diese "0" kann theoretisch (zwar mit kleiner Wahrscheinlichkeit) bis zur Position rechts neben Max wandern. Es können also doch jeder Zeit "neue" Blasen entstehen, selbst wenn diese sich "zwischendurch" mal aufgelöst haben.

Hallo Jürgen,

Eine vorhandene Blase kann sich ausdehnen oder kleiner werden, wenn sie aber ein Mal verschwunden ist kann niemals eine neue entstehen:
Zunächst ist für das Verständnis wichtig: Jeder Wichtel hat immer eindeutig eine Präferenz! (siehe Aufgabentext)! Sprich Entweder er wählt sicher 1 (Mandelmarkt) oder 0 (Apfelmarkt) !! W-Keit 5/6 heißt nicht, dass der Wichtel, wenn er gefragt wird, noch pendeln kann: sich zu 5/6 für Markt M entscheidet und sich zu 1/6 für Markt A, sondern!! dass mit W-Keit 5/6 dort ein Wichtel steht der sicher Markt M wählt und zu 1/6 W-Keit  Wichtel sicher Markt A wählt. Dies ist ein Unterschied!

Bsp: 111 10100 0. Nur die Wichtel 4-8 können sich noch ändern. In diesem Fall haben wir eine Blase bei W5: eine 0 zwischen 1ern.
Diese Blase wird sogar größer, wenn nun W4 ausgewählt wird und zufällig nach rechts schaut und die 0 von W5 übernimmt.
Sollte aber W5 oder W6 ausgewählt werden, so ist die Blase ein für alle Mal weg!!

Blasenfreier Zustand ist invariant: Eine neue Blase kann nicht entstehen, nur die Kante zwischen 1ern und 0er verschiebt sich noch:
Bsp 111 11100 0. Hier haben wir die Kante bei W6 1 und W7 0. Nur wenn einer dieser beiden Wichtel nun ausgewählt wird, kann sich die Kante (zu 50% verschieben), sonst bleibt dieser Zustand stabil!: Sollte W6 nach rechts schauen geht die Kante um eins nach links, sollte W7 nach links schauen: eins nach rechts.

Für eine neue Blase müsste ein mittiger 1er (W4oder W5) oder 0er Wichtel (W8) seine Meinung ändern, geht aber nicht, da er ja von seinesgleichen umgeben ist.

Ok?

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 01-02-2025, 09:18 PM von pierrot.

[MatheJuergen]

Antwort 7 war durchaus verlockend, allerdings übersieht man hier, dass es nur 6 stabile blasenfreie Zustände gibt. Mit Blase meine ich: dass eine 0 von 1 ern umgeben ist oder andersherum … die Blasen lösen sich aber alle auf!!
Interessant und wie ich meine nicht trivial ist der Umstand, dass die 6 entstehenden Endzustände echt gleichverteilt sind. Ich habe das mit einer übergangsmatrix, Markovkette gezeigt. Juchhu Markov die dritte !!! Kam die letzten Jahr leider gar nicht dran. 

Eine der beste Aufgaben!! Vielen Dank dafür. 

Hier mein Lösungsvorschlag ausführlich:
https://www.dropbox.com/scl/fi/as49f4ngv...zjsr3&dl=0

Das sich die "Blasen" immer alle auflösen kann ich nicht ganz nachvollziehen. Anna kann (in deiner Schreibweise) immer eine "0" nach links schicken und diese "0" kann theoretisch (zwar mit kleiner Wahrscheinlichkeit) bis zur Position rechts neben Max wandern. Es können also doch jeder Zeit "neue" Blasen entstehen, selbst wenn diese sich "zwischendurch" mal aufgelöst haben.

Hallo Jürgen,

Eine vorhandene Blase kann sich ausdehnen oder kleiner werden, wenn sie aber ein Mal verschwunden ist kann niemals eine neue entstehen:
Zunächst ist für das Verständnis wichtig: Jeder Wichtel hat immer eindeutig eine Präferenz! (siehe Aufgabentext)! Sprich Entweder er wählt sicher 1 (Mandelmarkt) oder 0 (Apfelmarkt) !! W-Keit 5/6 heißt nicht, dass der Wichtel, wenn er gefragt wird, noch pendeln kann: sich zu 5/6 für Markt M entscheidet und sich zu 1/6 für Markt A, sondern!! dass mit W-Keit 5/6 dort ein Wichtel steht der sicher Markt M wählt und zu 1/6 W-Keit  Wichtel sicher Markt A wählt. Dies ist ein Unterschied!

Bsp: 111 10100 0. Nur die Wichtel 4-8 können sich noch ändern. In diesem Fall haben wir eine Blase bei W5: eine 0 zwischen 1ern.
Diese Blase wird sogar größer, wenn nun W4 ausgewählt wird und zufällig nach rechts schaut und die 0 von W5 übernimmt.
Sollte aber W5 oder W6 ausgewählt werden, so ist die Blase ein für alle Mal weg!!

Blasenfreier Zustand ist invariant: Eine neue Blase kann nicht entstehen, nur die Kante zwischen 1ern und 0er verschiebt sich noch:
Bsp 111 11100 0. Hier haben wir die Kante bei W6 1 und W7 0. Nur wenn einer dieser beiden Wichtel nun ausgewählt wird, kann sich die Kante (zu 50% verschieben), sonst bleibt dieser Zustand stabil!: Sollte W6 nach rechts schauen geht die Kante um eins nach links, sollte W7 nach links schauen: eins nach rechts.

Für eine neue Blase müsste ein mittiger 1er (W4oder W5) oder 0er Wichtel (W8) seine Meinung ändern, geht aber nicht, da er ja von seinesgleichen umgeben ist.

Ok?

Hallo Pierrot, jetzt hab ich meine textliche Fehlinterpretation erkannt. Das Wort "ausgewählt" in deiner Antwort war der Schlüssel. Ich habe die Aufgabe insoweit missinterpretiert, dass alle Wichtel (außer den beiden entschlossenen) gleichzeitig  sich zufällig für einen der Nachbarzustände entscheiden, dann könnten nämlich neue Blasen entstehen (0-1 Nachbarn könnten ihre Zustände tauschen). Aber jetzt hab ich den Aufgabentext nochmal genau gelesen und da steht eindeutig, dass in jeder Runde nur ein Wichtel ausgewählt wird, der dann seinen Zustand neu "definiert", dann kann natürlich keine neue Blase entstehen, sondern nur noch die Grenze verschoben werden. Man (also ich) sollte doch den Text genauer lesen und sich nicht voll Freude sofort auf den "random walk" begeben (random walks sind einfach zu schön).
Vielen Dank für deine Antwort!   
Bis spätestens Dezember 45².

[DFUx]

Tja, bei der Aufgabe hatte ich leider bis nach Weihnachten nicht mitbekommen, dass 2/3 doch eine mögliche Lösung war. Schade.