Ich habe sofort eine einfache Strategie gesehen, die es ermöglicht in beiden Fällen 50 Keksdosen zu gewinnen:
Die Elfen teilen sich in Paare auf. Und der zuerst aufgerufenen Elf verrät dem Partnerelf seine Kekssorte. Im Falle der Freundeskreise, müssen die Paare so gewählt werden, dass sie in verschiedenen Kreisen sind, was aber kein Problem ist, da diese Aufteilung vorgenommen wird, bevor die Elfen ihre Strategie entwickeln.
Damit waren die Antworten 1, 2 und 7 falsch.
Meine Strategie für einen Kreis war:
Die ersten vier Elfen verraten, ob sie eine gerade oder ungerade Anzahl der verschiedenen Kekssorten in vorgegebener Reihenfolge (z.B. Ingwer, Honig, zimt und Kardamon). Die letzte Sorte ergibt sich dann aus der Gesamtzahl. In
So könnte Zimt gerade bedeuten und Ingwer ungerade.
Damit könnten die folgenden 96 Elfen ihre Kekssorte korrekt raten. Für die Freundschaftskreise hatte ich keine Idee, habe aber geschätzt, dass es weniger sind, und 80 geraten.
Die Strategie war aber wohl nicht optimal und daher bin ich gespannt auf weitere Ideen.
Man ordnet den 5 Plätchensorten die Zahlen 0..4 zu. Nun bilden alle Elfen die Summe aller sichtbaren Plätzchensorten modulo 5, es ergibt sich der Rest geteilt durch 5: eben 0,1,2,3 oder 4.
der erste aufgerufene Elf teilt diesen Rest mittels der zugeordneten plätzchensorte allen mit. Runde 1: 99 Elfen können sich nun direkt rausrechnen; da sie von der Summe nur ihre eigene Zahl nicht kennen, in runde 2 wissen dann 80 Elfen direkt ihre Sorte. Der Lebkuchenschlucker kann natürlich zunächst alle 20 Elfen eines Freundeskreises auswählen, da herrscht 0 Info, daher 80 in Runde 2.
Bei Teil 1 stimme ich pierrot zu, Teil 2 funktioniert in meinen Augen ein bisschen anders, aber mit demselben Ergebnis.
Nennen wir die Elfen in den Freundeskreisen A1-20, B1-20...
Wenn sie einfach dieselbe Strategie nehmen würden, wie im ersten Teil, und Elf A1 die Summe aller Sorten nennt, die er sieht (also B1-E20 nennt), hilft das keinem weiter... Wenn nun B1 aufgerufen wird, kann er daraus zwar ermitteln, welche Summe in Kreis B bestehen muss, aber was er persönlich hat, kann er nicht ableiten, da er B1-B19 ja nicht sieht.
Dass es keine Lösung >80 geben kann, ist - mit deiner Begründung - klar, wenn die ersten 20 Elfen nichts übereinander wissen, können sie sich auch keine Tipps geben, also kann der Lebkuchenschlucker eine Reihenfolge wählen, wo nichts > 80 funktioniert.
Wenn sich die Elfen absprechen, dass immer fünf "zusammenspielen", die in unterschiedlichen Freundeskreisen sind, können sie aber 80 sicher retten: Der erste der Fünfergruppe, der aufgerufen wird, nennt die Summe der anderen vier modulo 5 und damit wissen die anderen vier Bescheid.
(12-30-2024, 04:39 PM)pierrot schrieb: Man ordnet den 5 Plätchensorten die Zahlen 0..4 zu. Nun bilden alle Elfen die Summe aller sichtbaren Plätzchensorten modulo 5, es ergibt sich der Rest geteilt durch 5: eben 0,1,2,3 oder 4.
der erste aufgerufene Elf teilt diesen Rest mittels der zugeordneten plätzchensorte allen mit. Runde 1: 99 Elfen können sich nun direkt rausrechnen; da sie von der Summe nur ihre eigene Zahl nicht kennen, in runde 2 wissen dann 80 Elfen direkt ihre Sorte. Der Lebkuchenschlucker kann natürlich zunächst alle 20 Elfen eines Freundeskreises auswählen, da herrscht 0 Info, daher 80 in Runde 2.
So ähnlich hab ichs auch, aber ich glaube, dass du dir Runde 2 zu einfach gemacht hast. (80 ist aber natürlich richtig.)
Wenn der erste Elf die Summe von 80 Kekssorten (modulo 5) bekanntgibt, dann wissen die Elfen aus den anderen Freundeskreisen nicht ihre Kekssorte, weil sie ja nur 60 Kekssorten gemeinsam sehen (die von den 3 anderen Freundeskreisen). Also kennen sie nur die Summe ihres gesamten Freundeskreises (module 5).
Ich habe mir deshalb überlegt, dass die Elfen 5er-Gruppen bilden, mit jeweils einem Elf aus jedem Freundeskreis. Dann kann man innerhalb dieser Gruppen wie in Runde 1 verfahren und landet (natürlich) genau bei 80.
(12-30-2024, 04:39 PM)pierrot schrieb: Man ordnet den 5 Plätchensorten die Zahlen 0..4 zu. Nun bilden alle Elfen die Summe aller sichtbaren Plätzchensorten modulo 5, es ergibt sich der Rest geteilt durch 5: eben 0,1,2,3 oder 4.
der erste aufgerufene Elf teilt diesen Rest mittels der zugeordneten plätzchensorte allen mit. Runde 1: 99 Elfen können sich nun direkt rausrechnen; da sie von der Summe nur ihre eigene Zahl nicht kennen, in runde 2 wissen dann 80 Elfen direkt ihre Sorte. Der Lebkuchenschlucker kann natürlich zunächst alle 20 Elfen eines Freundeskreises auswählen, da herrscht 0 Info, daher 80 in Runde 2.
So ähnlich hab ichs auch, aber ich glaube, dass du dir Runde 2 zu einfach gemacht hast. (80 ist aber natürlich richtig.)
Wenn der erste Elf die Summe von 80 Kekssorten (modulo 5) bekanntgibt, dann wissen die Elfen aus den anderen Freundeskreisen nicht ihre Kekssorte, weil sie ja nur 60 Kekssorten gemeinsam sehen (die von den 3 anderen Freundeskreisen). Also kennen sie nur die Summe ihres gesamten Freundeskreises (module 5).
Ich habe mir deshalb überlegt, dass die Elfen 5er-Gruppen bilden, mit jeweils einem Elf aus jedem Freundeskreis. Dann kann man innerhalb dieser Gruppen wie in Runde 1 verfahren und landet (natürlich) genau bei 80.
Auf die erste Lösung bin ich tatsächlich nicht gekommen. Das ist genial. Keine Ahnung, wieso ich auf Modulo und die Summe nicht gekommen bin.
Hier meine Lösung, die zumindest in Fall 2 zur optimalen Lösung führte.
PHP-Code:
Lösung zu Aufgabe 24: Die Elfen arbeiten folgende Strategie aus. Elf 1 hat die Codefarbe 1 und sagt diese Farbe, wenn er eine gerade Anzahl seiner Codefarbe sieht. Andernfalls sagt er Codefarbe 2. Elf 2 hat die Codefarbe 2 und sagt diese Farbe, wenn er eine gerade Anzahl seiner Codefarbe sieht. Andernfalls sagt er Codefarbe 3. Elf 3 und Elf 4 agieren entsprechend. Elf 5 weiß sodann schon seine Codefarbe, weil er 100-(Summe der Codefarben 1-4) rechnen und damit seine Farbe errechnen kann. Im zweiten Fall kann es passieren, dass die ersten 20 nacheinander aus einer Gruppe ausgewählt werden und damit ihre Farbe nicht richtig raten könn(t)en. Durch die obige Strategie können danach aber alle anderen 80 ihre Farbe richtig sagen.
(12-30-2024, 08:03 PM)Fanbusfahrer schrieb: Auf die erste Lösung bin ich tatsächlich nicht gekommen. Das ist genial. Keine Ahnung, wieso ich auf Modulo und die Summe nicht gekommen bin.
Hier meine Lösung, die zumindest in Fall 2 zur optimalen Lösung führte.
PHP-Code:
Lösung zu Aufgabe 24: Die Elfen arbeiten folgende Strategie aus. Elf 1 hat die Codefarbe 1 und sagt diese Farbe, wenn er eine gerade Anzahl seiner Codefarbe sieht. Andernfalls sagt er Codefarbe 2. Elf 2 hat die Codefarbe 2 und sagt diese Farbe, wenn er eine gerade Anzahl seiner Codefarbe sieht. Andernfalls sagt er Codefarbe 3. Elf 3 und Elf 4 agieren entsprechend. Elf 5 weiß sodann schon seine Codefarbe, weil er 100-(Summe der Codefarben 1-4) rechnen und damit seine Farbe errechnen kann. Im zweiten Fall kann es passieren, dass die ersten 20 nacheinander aus einer Gruppe ausgewählt werden und damit ihre Farbe nicht richtig raten könn(t)en. Durch die obige Strategie können danach aber alle anderen 80 ihre Farbe richtig sagen.
Gleiche Anmerkung wie oben: Der ersten 4 Elfen sagen, ob es von ihrer jeweiligen "Farbe" eine gerade Anzahl gibt. Seien die mal alle aus der gleichen Freundesgruppe. Dann kommt einer von einem anderen Freundeskreis dran. Der sieht jetzt 20 Elfen nicht, die die anderen Elfen gesehen haben. Da kann er doch nicht folgern, welche Farbe er hat? 100-(Summe der Codefarben 1-4) funktioniert nicht, oder? (Ich verstehe die Formel ohnehin nicht, kannst du das noch etwas ausarbeiten?)
Ich hatte zunächst einen ähnlichen Ansatz wie Fanbusfahrer und DFUx, war aber auf die Idee gekommen, dass die Elfen mit jeder Antwort ja gleich zwei Bit kodieren könnten (also z.B.: "Ingwer" = sowohl Ingwer als auch Honig sind gerade Anzahlen, "Honig" = Ingwer ist gerade, Honig ungerade, "Zimt" = Ingwer und Honig beide ungerade...). Somit war ich für das erste Szenario bei 98 sicher geretteten Plätzchenboxen. Dies war zu meinem Glück keine vorgegebene Antwortmöglichkeit und von da war's dann gedanklich auch nicht mehr gar so weit zum richtigen Ansatz.
Beim zweiten Szenario hatte ich es mir - so wie anscheinend viele andere hier - zu einfach gemacht, wobei man allerdings alle weiteren vorgebenen Antwortmöglichkeiten von hier aus ohnehin sofort ausschließen konnte.
Das stimmt natürlich @LinsenmitSpätzle. Ich bin davon ausgegangen, dass zunächst alle aus dem gleichen Freundeskreis ausgewählt werden^^ und ich dachte, dass ich damit den schlechtesten Fall abgedeckt hätte (was natürlich nicht stimmt). Wenn erst die 20 ausgewählt worden wären, hätte meine Formel vermutlich funktioniert. Denn die ersten fünf hätten dann durch ihre Codefarbe die Anzahl ermöglicht (wobei vier ausgereicht hätten). Denn dann hätte der letzte ja durch die Rechnung 100-... die letzte Anzahl errechnen können und festgestellt, ob da 0 oder 1 rauskommt. Je nachdem wüsste der fünfte dann seine Mützenfarbe auch. Weiß jetzt nicht, ob das klarer geworden ist.
In jedem Fall hatte ich leider einen Denkfehler beim zweiten Fall. Und beim ersten Fall hatte ich eine gute Idee, die aber nicht die optimalste war^^
Jetzt ärgere ich mich, dass ich die erste Lösung nicht gesehen habe. Ich hatte es zuerst auch mit modulo 5 aufgeschrieben, bin dann aber nicht darauf gekommen, die Summe zu bilden.
Daher hatte ich es für jede Kekssorte einzeln gemacht, was dann nicht auf Fall 2 übertragbar war.
Wenn man die Summe über alle hat, liegen die 5er-Gruppen für Fall 2 dagegen für geübte Mathekalenderteilnehmer nahe.
