Aufgabe 12 2024

[saltus]

Wenn man Basilos Vorgehen etwas weiter treibt (siehe auch die englische Wikipedia zum Stern-Brocot-Baum),
sieht man, dass sich die Anzahl der Links- und Rechtsdrehungen fast ergibt,
wenn man nur jeweils (einmal mit dem ersten, das andere Mal mit dem zweiten beginnend)
jeden zweiten Koeffizienten des Kettenbruchs (engl. continued fraction) behält und die Summen bildet.
Genaueres entnehme man folgendem kurzen Julia-Programm:

Code:

using RealContinuedFractions

function lr(r::Rational)
    v = contfrac(r).q
    [sum(v[2:2:end]) - 1, sum(v[1:2:end])]    
end

sum([22//7 87//32].|>lr)
# --> [11, 8]

Dabei ist contfrac( r).q der Vektor der der Koeffizienten der (regulären) Kettenbruchdarstellung der rationalen Zahl r, der nicht auf 1 endet.

Fun-Fact  am Rande: In jeder Tiefe des Baumes ist das Maximum der Zähler bzw. Nenner eine Fibonacci-Zahl.