Lösung zu Aufgabe 21

[Mathe Juergen]

Ich habe ein ähnliches Prinzip wie Martina angewandt:

Schritt 1: Da sich bei jedem Schritt die "Farbe" ändern muss, kann man nur mit einer geraden Anzahl von Schritten wieder auf das Ursprungsfeld (Ursprungsfarbe) gelangen.

Schritt 2: Nicht jede gerade Anzahl ist möglich.
              Ich führe ein Koordinatensystem für unser "Schachbrett" ein. Es gibt also eine x und eine y- Koordinaten. Diese Koordinaten können durch die beiden Sprünge wie folgt verändert werden. 

              Pferdsprung: Delta x (kurz dx)  entweder  dx = ± 1 und dy = ± 2    oder  dx = ± 2 und dy = ± 1

              kurzer Sprung: entweder  dx = ± 1 und dy = 0    oder  dx = 0 und dy = ± 1

              Führt man also ein Sprungpaar (Reihenfolge ist egal) aus, dann gibt es folgende Möglichkeiten:  

              Fall 1:   dx = 0 ; ± 2  und  dy = ± 2  

              Fall 2:   dx = ± 1   und  dy = ± 1 ; ± 3 

              Fall 3:   dx =± 1 ; ± 3 und  dy = ± 1  

              Fall 4:  dx = ± 2  und  dy = 0; ± 2 

              Man beachte die "Symmetrie" der Fälle. Zudem gibt es natürlich auch Änderungen, die sowohl in Fall 1 und auch in Fall 4  bzw. sowohl in Fall 2 als auch in Fall 3 enthalten sind.

              Nach einem Sprungpaare "landet" man also immer auf einem anderen Feld, egal auf welchem Feld man vor dem Sprungpaar stand.

              Nennen wir die Sprungpaare in den Fällen 1 und 4 "gerade" (kurz: g) und in den Fällen 2 und 3 "ungerade" (kurz: u).

              Sei n die Anzahl der Sprünge ==> n = 2*k , wobei k ∈ N die Anzahl der Sprungpaare ist. 

              Wenn es also eine Möglichkeit mit n = 34 also k = 17 geben würde, dann müsste die Summe der Änderungen dieser 17 Sprungpaare sowohl für die x- Koordinate als auch für die y-Koordinate jeweils 0 sein.

              Man kann nicht alle 17 Sprungpaare aus der "Klasse" g wählen, denn wenn man die Summe der dx zu 0 macht, dann ist gleichzeitig dy ungleich 0.
              (Analog folgt, dass man auch nicht alle 17 Sprungpaare aus der Klasse u wählen kann.)

              Es kann also nur mit Hilfe einer "Mischung" aus den Klassen u und g gelingen beide Koordinatenänderungen gleichzeitig zu 0 zu machen.
               
              Sei U die Anzahl der Sprungpaare aus der Klasse u und G die Anzahl der Sprungpaare aus der Klasse g. ==> U + G = 17

              Damit man durch Mischung beide Koordinaten zu 0 kompensieren kann, muss gelten:  U = 2*G   oder 2*U = 3*G  
               
              U = 2*G führt auf 3*G = 17 (Widerspruch)   ;   2*U = 3*G führt zu 2,5*G = 17 (Widerspruch)

              Somit ist k = 17 nicht möglich ==> Das maximal mögliche n ist 32.

              Die Existenz einer Lösung mit n = 32 kann man (wie von Martina gezeigt) angeben. 

              Übrigens das gezeigte Beispiel im Aufgabentext besteht aus drei Sprungpaaren (k=3) und es gilt G = 1 und U = 2.

Der Beweis kann so nicht funktionieren, da du an keiner Stelle benutzt, welche Felder genau fehlen. Es ist sehr wohl möglich, auf einer Runde genau 34 Felder zu betreten. Die zwei fehlenden Felder sind dann allerdings nicht zwei Felder in den mittleren beiden Reihen, sondern andere. Hier ist eine Möglichkeit mit 34 Schritten, die an den fehlenden beiden Feldern oben in der Mitte beginnt:

05|08|07|02|XX|34|31|32|29
06|03|04|01|XX|33|28|27|30
09|12|11|14|17|20|19|22|25
10|15|16|13|18|23|24|21|26

Es ist auch möglich, dass andere zwei Felder fehlen, z.B. zwei Felder in der untersten Reihe.

Danke für den Hinweis!