Mützenaufgabe ?

[Mathe Juergen]

Meine Lösung sieht so aus:
Der Elf 1 stellt sich irgendwo auf die Linie. Der Elf 2 codiert die Hutfarbe von Elf 1 (z.B. links von 1 bedeutet rot und rechts von 1 bedeutet blau).  Anschließend codiert Elf (k+1) die Hutfarbe von Elf k indem er sich ebenfalls entweder links oder rechts von Elf k hinstellt. Somit können die Elfen 1 bis 8 ihre Hutfarbe erfahren, allerdings Elf 9 nicht. Damit Elf 9 seine Hutfarbe kennt, muss Elf 8 (außer der Hutfarbe von Elf 7) auch die Hutfarbe von Elf 9 codieren. Dies muss daher Elf 8 sein, da nur Elf 8 weiß, wer Elf 9 ist (bis auf den Weihnachtsmann natürlich, der weiß das auch). Elf 8 codiert daher, ob Elf 7 und Elf 9 die gleiche Hutfarbe oder eine unterschiedliche Hutfarbe haben, indem er sich z.B. direkt links oder rechts von Elf 1 aufstellt. Da Elf 7 die Hutfarbe von Elf 9 (und umgekehrt) kennt, kennt er auch seine eigene Hutfarbe. Somit kennen alle 9 Elfen ihre Hutfarbe.
Dieses Prinzip funktioniert auch mit n Elfen (also auch z.B. mit n = 42) .

Hast du das mal für n=3 durchgespielt? Und was ist direkt links und direkt rechts wenn oBdA immer zwischen 2 Wichteln noch ein dritter passen soll (bezüglich direkt) und was ist links/rechts auf der Linie, wenn da nur ein Wichtel steht und man die Linie von beiden Seiten betrachten kann?

Klar für n = 3 funktionieren die Strategien nicht, um alle Elfen "durchzubekommen" (da schafft man nur 2, der dritte Elf stellt sich zwischen die beiden, falls sie die gleiche Mützenfarbe haben und nicht zwischen die beiden ersten, falls sie verschiedene Mützenfarben haben). Direkt ist ganz einfach für Elf 8: Elf 2 hat ja die Farbe des Strahls "definiert". Elf 8 stellt sich also so auf den richtigen (vorher verabredeten) Strahl, dass zwischen ihm und Elf 1 niemand anderes steht (das geht nach Aufgabentext immer).
By the way: Für n = 1 funktioniert keine Mützenaufgabe (außer einer mit Spiegel)