(01-02-2024, 01:30 PM)hg1 schrieb:(01-02-2024, 10:05 AM)st1974 schrieb: Bei dieser Aufgabe konnte ich meine längst verschütteten Kenntnisse in Gruppentheorie auffrischen. Die Lampenkonfigurationen bilden zusammen mit dem logischen XOR eine Gruppe. Dann muss man nur untersuchen, ob die Schaltvorgänge ausreichen, um die komplette Gruppe zu erzeugen. Der komplette Beweis unter:
https://www.dropbox.com/scl/fi/qof23dpfp...wt0si&dl=0
Vielen Dank für die sehr schön geschriebene Lösung!
Nur eine kleine Anmerkung: Es scheint mir so, als wäre G_n hier nicht nur eine Gruppe sondern sogar ein Vektorraum, genauer gesagt der n-dimensionale Vektorraum über dem 2-elementigen Körper {0,1} (mit 1+1=0). Denn man kann sich die Elemente von G_n ja als Vektoren über {0,1} der Länge n mit komponentenweiser Addition vorstellen.
Deshalb kann man lineare Algebra anwenden - das von dir benutzte Verfahren ist also genau das Gaußschen Eliminationsverfahren in der linearen Algebra
(Und aus der Diagonalform folgt, dass die Matrix invertierbar ist, also vollen Rang hat weshalb die Zeilenvektoren den ganzen Raum aufspannen)
Danke für die Einordnung für als n-dimensionaler Vektorraum. Dann ist klar, dass der Gaußsche Eliminationsalgorithmus anwendbar ist.