(01-01-2024, 07:35 PM)Mathewichtel schrieb:(01-01-2024, 07:13 PM)Mathe Juergen schrieb: Fall 2: Man wählt 4 verschiedene Farben aus. Dies ist wieder auf 126 Arten (9 über 4 = 9 über 5) möglich.
Fall 2a: Man setzt die einzige doppelt vorkommende Farbe in die Mitte ==> Die vier "Randfarben" sind alle verschieden ==> Es gibt wie in Fall 1 beschrieben genau 3 verschiedene "Färbungen" ==> 126*3 = 378
Fall 2b: Zwei "Randfelder" haben die gleiche Farbe. Die Mitte kann man also auf 3 verschiedene Arten wählen. Für die Randfelder gibt es jetzt nur noch (4 über 2)*2 = 12 Anordnungen. Von diesen 12 Anordnungen sind jedoch
nur 2 nach Definition gleich "gefärbt".
An sich finde ich diese Überlegungen sehr nachvollziehbar - ich habe bei dieser Aufgabe letzten Endes aufgegeben, weil mir die ganzen verschiedenen Fälle zu unübersichtlich wurden…
Bei Fall 2 bin ich aber nicht ganz sicher, inwieweit die Anzahl der jeweils „verschiedenen Färbungen“ stimmt: Macht es bei Fall 2b nicht einen Unterschied, ob die gleiche Farbe an zwei benachbarten oder an zwei gegenüberliegenden Randfeldern auftritt? Wenn zwei gegenüberliegende Randfelder gleich gefärbt sind, müsste es meiner Meinung nach weniger Färbungen geben, die als „gleich“ zählen (je 4 statt 8).
Aber wie gesagt: an der Stelle habe ich dann etwas den Überblick verloren und bin daher gespannt auf weitere Erläuterungen oder andere Lösungswege.
Ja das ist im Fall 2b so, die 12 Anordnungen zerfallen in einen "Achterzyklus" und einen "Viererzyklus" (hier bringen die Drehungen keine neuen Anordnungen). Somit sind es 2 erlaubte "Färbungen" bei 12 Anordnungen.
(01-01-2024, 01:43 AM)Pierrot schrieb: Schöne Kombinatorikaufgabe.Ich verstehe bei deinem Lösungsweg nicht, warum du die Berücksichtigung des Bodens durch die Multiplikation mit 9 vornimmst. Die 9 ist mit der Auswahl der Farben also mit 9 über 5 bereits berücksichtigt. Für den Boden kommen doch dann nur noch die konkret vorliegenden 4 oder 5 Farben in Frage und nicht mehr 9.
Geschickterweise betrachtet man die vier Seiten erst einmal unabhängig vom Boden, da dieser bei den günstigen Spiegelungen und Drehungen immer auf sich selbst abgebildet wird und somit zunächst vernachlässigbar ist - das reduziert die Fälle stark!
Es verbleiben dann die „Poker“-Fälle vier Verschiedene, one & two pair, Drilling und Vierling.
Alle Fälle einfach Mal neun (wegen Bodenfarbe) - nur bei one pair muss man aufpassen:
6 Bodenfarben sind gute Farben, erwischt man aber als Bodenfarbe eine der drei Seitenfarben, so ist das Geschenk nicht zulässig.
Nun addiert man die guten und die schlechten Fälle und es ergibt sich das Verhältnis 6426/9315=238/345 ungefähr 68,99%. Die Maschine wird also nicht eingeführt und die Elfen müssen selber malen.
Lösungsweg: https://www.dropbox.com/scl/fi/8fpmlhcu6...trge7&dl=0