Meine Lösung ist etwas umfangreicher (ich glaube auch, dass es kein vollständiges Argument ist, dass man jede Lampe an oder ausschalten kann, denn einige anderen Lampen ändern ja beim letzten Schalterdruck ihren Zustand).
Fall 1: n = 7
Man kann an einem Ende mit einem Schalterdruck auf jeden Fall eine 1 erzeugen (falls da noch keine ist). Sagen wir mal rechts am Ende (also Lampe 7) ist eine 1. Dann kann man auf jeden Fall die Lampen 6,5 und 4 auch zu 1 machen, indem man immer weiter nach links geht mit dem Schaltvorgang. (Bsp: also Schalter 3 beeinflusst Lampe 7 nicht mehr, macht aber Lampe 6 an falls diese zuvor aus ist usw.)
Also muss man nur noch die "Anfangssituationen" xyz1111 betrachten. Falls x,y und z alle 1 sind ist man fertig, denn dann schaltet man alle Lampen mit Schalter 4 aus. Falls x,y und z alle 0 sind ist man auch fertig. Dann drückt man auf Schalter 7 und alle Lampen sind aus. Man muss also nur noch sechs Fälle durch spielen:
110; 101; 100 ; 011 ; 001 und 010.
Fall 1: 1101111 S6 ==> 1110000 S7 ==> 1111111 S4 ==> 0000000 fertig
Fall 2: 1011111 S5 ==> 1100000 S6 ==> 1111111 S4 ==> 0000000 fertig
Fall 3: 1001111 S5 ==> 1110000 S7 ==> 1111111 S4 ==> 0000000 fertig
Fall 4: 0111111 S5 ==> 0000000 fertig
Fall 5: 0011111 S6 ==> 0000000 fertig
Fall 6: 0101111 S5 ==> 0010000 S7 ==> 0011111 S6 ==> 0000000 fertig
Somit geht es bei 7 immer.
Jetzt muss man zeigen, dass es dann auch bei n = k*7 geht. Also erzeugt man 7*(k-1)+4 Einsen von rechts her. Dann hat man auf den ersten drei Lampen wieder die sechs Fälle und schaltet wie oben. Allerdings beeinflusst man dadurch auch die Lampen 8 bis max. 10. Das macht aber nichts, denn hinter Lampe 10 wird nichts mehr verändert. Also setzt man wie oben, alle Lampen 1 bis 7 auf 0. Dann haben die Lampen 8 bis 10 ebenfalls eine der 6 Anfangssituationen und die Lampen 11 bis 14 stehen alle auf 1. Also geht man jetzt mit den Lampen 8 bis 14, genauso vor wie oben beschrieben (also S(i+7)).
Dieses Verfahren kann man beliebig oft durchführen ==> k*7 geht immer.
Damit sind die Antworten 1, 2, 4, 5, 6, 7 und 10 "ausgeschaltet" (also raus).
Fall 2: n = 8
Wenn man 8 Einsen hat schaltet man 4 Lampen mit Schalter 1 und 4 Lampen mit Schalter 8 aus.
Man kann wieder 5 Einsen auf den Lampen 4 bis 8 erzeugen (siehe Fall 1). Dann hat man wieder die 6 Fälle. (00011111 schaltet man ja mit S7 aus).
00111111 S6 ==> fertig
01111111 S5 ==> fertig
01011111 S6 ==> 01100000 S7 ==> 01111111 S5 ==> fertig
10011111 S5 ==> 11100000 S7 ==> 11111111 S1 und S8 ==> fertig
10111111 S5 ==> 11000000 S6 ==> 11111111 S1 und S8 ==> fertig
11011111 S6 ==> 11100000 S7 ==> 11111111 S1 und S8 ==> fertig
Also eine 8 bekommt man immer weg.
Jetzt muss man noch die 7*k+1 =7*(k-1)+8 betrachten.
Bsp. k=2: Man erledigt zuerst die Lampen 1 bis 8 wie oben beschrieben. Dabei verändert man höchstens die Lampen 9 bis 11.
Die Lampen 12 bis 15 bleiben Einsen. Also haben wir wieder die Problematik wie bei 7 Lampen, also xyz1111 und das wurde bereits gelöst.
Wenn k>=3 ist, dann erledigt man immer zuerst den Achter und dann alle folgenden Siebener.
Also geht 1 mod 7 ebenfalls immer.
Antwort 8 ist also richtig.
Anmerkung: Bei n = 9 bekommt man die Anfangsbedingung 0 1111 1111 nicht ausgeschaltet. Wenn man die 8 Einsen ausschaltet von rechts und von links schaltet man die Lampe 1 wieder an.
Fall 1: n = 7
Man kann an einem Ende mit einem Schalterdruck auf jeden Fall eine 1 erzeugen (falls da noch keine ist). Sagen wir mal rechts am Ende (also Lampe 7) ist eine 1. Dann kann man auf jeden Fall die Lampen 6,5 und 4 auch zu 1 machen, indem man immer weiter nach links geht mit dem Schaltvorgang. (Bsp: also Schalter 3 beeinflusst Lampe 7 nicht mehr, macht aber Lampe 6 an falls diese zuvor aus ist usw.)
Also muss man nur noch die "Anfangssituationen" xyz1111 betrachten. Falls x,y und z alle 1 sind ist man fertig, denn dann schaltet man alle Lampen mit Schalter 4 aus. Falls x,y und z alle 0 sind ist man auch fertig. Dann drückt man auf Schalter 7 und alle Lampen sind aus. Man muss also nur noch sechs Fälle durch spielen:
110; 101; 100 ; 011 ; 001 und 010.
Fall 1: 1101111 S6 ==> 1110000 S7 ==> 1111111 S4 ==> 0000000 fertig
Fall 2: 1011111 S5 ==> 1100000 S6 ==> 1111111 S4 ==> 0000000 fertig
Fall 3: 1001111 S5 ==> 1110000 S7 ==> 1111111 S4 ==> 0000000 fertig
Fall 4: 0111111 S5 ==> 0000000 fertig
Fall 5: 0011111 S6 ==> 0000000 fertig
Fall 6: 0101111 S5 ==> 0010000 S7 ==> 0011111 S6 ==> 0000000 fertig
Somit geht es bei 7 immer.
Jetzt muss man zeigen, dass es dann auch bei n = k*7 geht. Also erzeugt man 7*(k-1)+4 Einsen von rechts her. Dann hat man auf den ersten drei Lampen wieder die sechs Fälle und schaltet wie oben. Allerdings beeinflusst man dadurch auch die Lampen 8 bis max. 10. Das macht aber nichts, denn hinter Lampe 10 wird nichts mehr verändert. Also setzt man wie oben, alle Lampen 1 bis 7 auf 0. Dann haben die Lampen 8 bis 10 ebenfalls eine der 6 Anfangssituationen und die Lampen 11 bis 14 stehen alle auf 1. Also geht man jetzt mit den Lampen 8 bis 14, genauso vor wie oben beschrieben (also S(i+7)).
Dieses Verfahren kann man beliebig oft durchführen ==> k*7 geht immer.
Damit sind die Antworten 1, 2, 4, 5, 6, 7 und 10 "ausgeschaltet" (also raus).
Fall 2: n = 8
Wenn man 8 Einsen hat schaltet man 4 Lampen mit Schalter 1 und 4 Lampen mit Schalter 8 aus.
Man kann wieder 5 Einsen auf den Lampen 4 bis 8 erzeugen (siehe Fall 1). Dann hat man wieder die 6 Fälle. (00011111 schaltet man ja mit S7 aus).
00111111 S6 ==> fertig
01111111 S5 ==> fertig
01011111 S6 ==> 01100000 S7 ==> 01111111 S5 ==> fertig
10011111 S5 ==> 11100000 S7 ==> 11111111 S1 und S8 ==> fertig
10111111 S5 ==> 11000000 S6 ==> 11111111 S1 und S8 ==> fertig
11011111 S6 ==> 11100000 S7 ==> 11111111 S1 und S8 ==> fertig
Also eine 8 bekommt man immer weg.
Jetzt muss man noch die 7*k+1 =7*(k-1)+8 betrachten.
Bsp. k=2: Man erledigt zuerst die Lampen 1 bis 8 wie oben beschrieben. Dabei verändert man höchstens die Lampen 9 bis 11.
Die Lampen 12 bis 15 bleiben Einsen. Also haben wir wieder die Problematik wie bei 7 Lampen, also xyz1111 und das wurde bereits gelöst.
Wenn k>=3 ist, dann erledigt man immer zuerst den Achter und dann alle folgenden Siebener.
Also geht 1 mod 7 ebenfalls immer.
Antwort 8 ist also richtig.
Anmerkung: Bei n = 9 bekommt man die Anfangsbedingung 0 1111 1111 nicht ausgeschaltet. Wenn man die 8 Einsen ausschaltet von rechts und von links schaltet man die Lampe 1 wieder an.