Ich habe ein ähnliches Prinzip wie Martina angewandt:
Schritt 1: Da sich bei jedem Schritt die "Farbe" ändern muss, kann man nur mit einer geraden Anzahl von Schritten wieder auf das Ursprungsfeld (Ursprungsfarbe) gelangen.
Schritt 2: Nicht jede gerade Anzahl ist möglich.
Ich führe ein Koordinatensystem für unser "Schachbrett" ein. Es gibt also eine x und eine y- Koordinaten. Diese Koordinaten können durch die beiden Sprünge wie folgt verändert werden.
Pferdsprung: Delta x (kurz dx) entweder dx = ± 1 und dy = ± 2 oder dx = ± 2 und dy = ± 1
kurzer Sprung: entweder dx = ± 1 und dy = 0 oder dx = 0 und dy = ± 1
Führt man also ein Sprungpaar (Reihenfolge ist egal) aus, dann gibt es folgende Möglichkeiten:
Fall 1: dx = 0 ; ± 2 und dy = ± 2
Fall 2: dx = ± 1 und dy = ± 1 ; ± 3
Fall 3: dx =± 1 ; ± 3 und dy = ± 1
Fall 4: dx = ± 2 und dy = 0; ± 2
Man beachte die "Symmetrie" der Fälle. Zudem gibt es natürlich auch Änderungen, die sowohl in Fall 1 und auch in Fall 4 bzw. sowohl in Fall 2 als auch in Fall 3 enthalten sind.
Nach einem Sprungpaare "landet" man also immer auf einem anderen Feld, egal auf welchem Feld man vor dem Sprungpaar stand.
Nennen wir die Sprungpaare in den Fällen 1 und 4 "gerade" (kurz: g) und in den Fällen 2 und 3 "ungerade" (kurz: u).
Sei n die Anzahl der Sprünge ==> n = 2*k , wobei k ∈ N die Anzahl der Sprungpaare ist.
Wenn es also eine Möglichkeit mit n = 34 also k = 17 geben würde, dann müsste die Summe der Änderungen dieser 17 Sprungpaare sowohl für die x- Koordinate als auch für die y-Koordinate jeweils 0 sein.
Man kann nicht alle 17 Sprungpaare aus der "Klasse" g wählen, denn wenn man die Summe der dx zu 0 macht, dann ist gleichzeitig dy ungleich 0.
(Analog folgt, dass man auch nicht alle 17 Sprungpaare aus der Klasse u wählen kann.)
Es kann also nur mit Hilfe einer "Mischung" aus den Klassen u und g gelingen beide Koordinatenänderungen gleichzeitig zu 0 zu machen.
Sei U die Anzahl der Sprungpaare aus der Klasse u und G die Anzahl der Sprungpaare aus der Klasse g. ==> U + G = 17
Damit man durch Mischung beide Koordinaten zu 0 kompensieren kann, muss gelten: U = 2*G oder 2*U = 3*G
U = 2*G führt auf 3*G = 17 (Widerspruch) ; 2*U = 3*G führt zu 2,5*G = 17 (Widerspruch)
Somit ist k = 17 nicht möglich ==> Das maximal mögliche n ist 32.
Die Existenz einer Lösung mit n = 32 kann man (wie von Martina gezeigt) angeben.
Übrigens das gezeigte Beispiel im Aufgabentext besteht aus drei Sprungpaaren (k=3) und es gilt G = 1 und U = 2.
Schritt 1: Da sich bei jedem Schritt die "Farbe" ändern muss, kann man nur mit einer geraden Anzahl von Schritten wieder auf das Ursprungsfeld (Ursprungsfarbe) gelangen.
Schritt 2: Nicht jede gerade Anzahl ist möglich.
Ich führe ein Koordinatensystem für unser "Schachbrett" ein. Es gibt also eine x und eine y- Koordinaten. Diese Koordinaten können durch die beiden Sprünge wie folgt verändert werden.
Pferdsprung: Delta x (kurz dx) entweder dx = ± 1 und dy = ± 2 oder dx = ± 2 und dy = ± 1
kurzer Sprung: entweder dx = ± 1 und dy = 0 oder dx = 0 und dy = ± 1
Führt man also ein Sprungpaar (Reihenfolge ist egal) aus, dann gibt es folgende Möglichkeiten:
Fall 1: dx = 0 ; ± 2 und dy = ± 2
Fall 2: dx = ± 1 und dy = ± 1 ; ± 3
Fall 3: dx =± 1 ; ± 3 und dy = ± 1
Fall 4: dx = ± 2 und dy = 0; ± 2
Man beachte die "Symmetrie" der Fälle. Zudem gibt es natürlich auch Änderungen, die sowohl in Fall 1 und auch in Fall 4 bzw. sowohl in Fall 2 als auch in Fall 3 enthalten sind.
Nach einem Sprungpaare "landet" man also immer auf einem anderen Feld, egal auf welchem Feld man vor dem Sprungpaar stand.
Nennen wir die Sprungpaare in den Fällen 1 und 4 "gerade" (kurz: g) und in den Fällen 2 und 3 "ungerade" (kurz: u).
Sei n die Anzahl der Sprünge ==> n = 2*k , wobei k ∈ N die Anzahl der Sprungpaare ist.
Wenn es also eine Möglichkeit mit n = 34 also k = 17 geben würde, dann müsste die Summe der Änderungen dieser 17 Sprungpaare sowohl für die x- Koordinate als auch für die y-Koordinate jeweils 0 sein.
Man kann nicht alle 17 Sprungpaare aus der "Klasse" g wählen, denn wenn man die Summe der dx zu 0 macht, dann ist gleichzeitig dy ungleich 0.
(Analog folgt, dass man auch nicht alle 17 Sprungpaare aus der Klasse u wählen kann.)
Es kann also nur mit Hilfe einer "Mischung" aus den Klassen u und g gelingen beide Koordinatenänderungen gleichzeitig zu 0 zu machen.
Sei U die Anzahl der Sprungpaare aus der Klasse u und G die Anzahl der Sprungpaare aus der Klasse g. ==> U + G = 17
Damit man durch Mischung beide Koordinaten zu 0 kompensieren kann, muss gelten: U = 2*G oder 2*U = 3*G
U = 2*G führt auf 3*G = 17 (Widerspruch) ; 2*U = 3*G führt zu 2,5*G = 17 (Widerspruch)
Somit ist k = 17 nicht möglich ==> Das maximal mögliche n ist 32.
Die Existenz einer Lösung mit n = 32 kann man (wie von Martina gezeigt) angeben.
Übrigens das gezeigte Beispiel im Aufgabentext besteht aus drei Sprungpaaren (k=3) und es gilt G = 1 und U = 2.