Dann will ich noch eine neue "Lösung" (so sie stimmt) ins Spiel bringen:
Fall 1: Man wählt 5 verschiedene Farben aus.
Man kann 5 verschiedene Farben aus 9 auf 126 Arten (9 über 5) auswählen. Dann kann man jede der 5 Farben in die Mitte setzen. Die restlichen 4 Farben kann man auf 4! = 24 Arten anordnen. Davon sind aber je 8 gleich "gefärbt"
(Spiegelungen an den vier Symmetrieachsen und Drehung um 90°, 180° und 270° ). Somit sind es nur noch 24:8=3 verschiedene "Färbungen". Also 5*3=15 ==> 15*126=1890.
Fall 2: Man wählt 4 verschiedene Farben aus. Dies ist wieder auf 126 Arten (9 über 4 = 9 über 5) möglich.
Fall 2a: Man setzt die einzige doppelt vorkommende Farbe in die Mitte ==> Die vier "Randfarben" sind alle verschieden ==> Es gibt wie in Fall 1 beschrieben genau 3 verschiedene "Färbungen" ==> 126*3 = 378
Fall 2b: Zwei "Randfelder" haben die gleiche Farbe. Die Mitte kann man also auf 3 verschiedene Arten wählen. Für die Randfelder gibt es jetzt nur noch (4 über 2)*2 = 12 Anordnungen. Von diesen 12 Anordnungen sind jedoch
nur 2 nach Definition gleich "gefärbt". ==> Es gibt weitere 126*3*2=756 weitere Färbungen.
Insgesamt kommen also noch 378 + 756 = 1134 Färbungen hinzu.
Die Fälle 1 und 2 sind genau die "Färbungen" die der Weihnachtsmann akzeptiert, also sind günstig: 5 Farben: 1890 Mögl. und 4 Farben: 1134 Mögl. ==> Summe: 3024
Ungünstig sind demnach alle anderen: (Dabei wurde ähnlich wie in den Fällen 1 und 2 vorgegangen)
3 Farben, aber keine 3 gleiche: 504
3 Farben und dabei drei gleiche: 336
2 Farben und dabei drei gleiche: 108
2 Farben und dabei vier gleiche: 72
1 Farbe: 9
==> Summe: 1029 (diese Fälle akzeptiert der Weihnachtsmann nicht)
Gesamtmöglichkeiten zu färben: 3024 + 1029 = 4053
Somit gilt a = 3024 / 4053 = 144 / 193 = 0,746 ==> Antwort 8
Da bin ich auf die "offizielle" Lösung gespannt.
Fall 1: Man wählt 5 verschiedene Farben aus.
Man kann 5 verschiedene Farben aus 9 auf 126 Arten (9 über 5) auswählen. Dann kann man jede der 5 Farben in die Mitte setzen. Die restlichen 4 Farben kann man auf 4! = 24 Arten anordnen. Davon sind aber je 8 gleich "gefärbt"
(Spiegelungen an den vier Symmetrieachsen und Drehung um 90°, 180° und 270° ). Somit sind es nur noch 24:8=3 verschiedene "Färbungen". Also 5*3=15 ==> 15*126=1890.
Fall 2: Man wählt 4 verschiedene Farben aus. Dies ist wieder auf 126 Arten (9 über 4 = 9 über 5) möglich.
Fall 2a: Man setzt die einzige doppelt vorkommende Farbe in die Mitte ==> Die vier "Randfarben" sind alle verschieden ==> Es gibt wie in Fall 1 beschrieben genau 3 verschiedene "Färbungen" ==> 126*3 = 378
Fall 2b: Zwei "Randfelder" haben die gleiche Farbe. Die Mitte kann man also auf 3 verschiedene Arten wählen. Für die Randfelder gibt es jetzt nur noch (4 über 2)*2 = 12 Anordnungen. Von diesen 12 Anordnungen sind jedoch
nur 2 nach Definition gleich "gefärbt". ==> Es gibt weitere 126*3*2=756 weitere Färbungen.
Insgesamt kommen also noch 378 + 756 = 1134 Färbungen hinzu.
Die Fälle 1 und 2 sind genau die "Färbungen" die der Weihnachtsmann akzeptiert, also sind günstig: 5 Farben: 1890 Mögl. und 4 Farben: 1134 Mögl. ==> Summe: 3024
Ungünstig sind demnach alle anderen: (Dabei wurde ähnlich wie in den Fällen 1 und 2 vorgegangen)
3 Farben, aber keine 3 gleiche: 504
3 Farben und dabei drei gleiche: 336
2 Farben und dabei drei gleiche: 108
2 Farben und dabei vier gleiche: 72
1 Farbe: 9
==> Summe: 1029 (diese Fälle akzeptiert der Weihnachtsmann nicht)
Gesamtmöglichkeiten zu färben: 3024 + 1029 = 4053
Somit gilt a = 3024 / 4053 = 144 / 193 = 0,746 ==> Antwort 8
Da bin ich auf die "offizielle" Lösung gespannt.