Da die Antwortmöglichkeiten die Existenz von mindestens einem "Code" sichert, habe ich versucht welche Bedingungen ein solcher Code erfüllen muss.
Sei abcd eine Permutation eines solchen Codes mit a>=b>=c>=d.
Bildet man die Differenz: abcd - dcba = 1000*(a-d) + 100*(b-c) + 10*(c-b) + d-a = 999*(a-d) + 90*(b-c) = 9*(111*(a-d) + 10*(b-c))
dann folgt sofort, dass die Zahl durch 9 teilbar sein muss und damit auch die Quersumme Q= a + b + c + d.
==> Q = k*9 mit zunächst 1<=k<=4.
k=4 würde bedeuten a=b=c=d, was laut Aufgabenstellung ausgeschlossen ist.
Jetzt hilft uns natürlich, dass laut Aufgabentext eine der Ziffern eine 6 sein muss. ==> a>=6 (ohne diesen Hinweis wäre es "zäh" geworden)
Da gibt es jetzt also noch genau drei Fälle: 6300 , 6210 und 6111
6300 - 0036 = 6264 ==> kein Code ; 6210 - 0126 = 6084 ==> kein Code ; 6111 - 1116 = 4995 ==> kein Code.
Somit geht k = 1 auch nicht.
A: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c ungleich b ist: a - d ; b - (c +1) ; 9 + c - b ; 10 + d - a
B: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c = b ist: a - d - 1 ; 9 ; 9 ; 10 + d - a
Fall B: Quersumme ist größer als 18 ==> k = 3, also Q = 27 und zusätzlich wären zwei Ziffern des Codes 9 ==> 9963. Da 9963 - 3699 = 6264 ==> kein Code.
Somit ist Fall B nicht möglich.
Fall A: Q = a - d + b - c - 1 + 9 + c - b + 10 + d - a = -1 + 9 + 10 = 18 ==> k = 3 geht nicht, also muss k = 2 sein.
Addiert die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz so erhält man: a - d + 10 + d - a = 10 ==> Die beiden äußeren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Addiert man die beiden "mittleren" Ziffern der Differenz, so erhält man: b - c - 1 + 9 + c - b = 8 ==> Die beiden inneren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz können weder a noch d lauten, sonst müsste gelten: a - d = a ==> d = 0 ==> a + d ungleich 10 (Widerspruch)
10 + d - a = a ==> 2a = 10 + d ==> 2a + a = 10 + d + a = 10 + 10 = 20 = 3a (Widerspruch).
a - d = d ==> a = 2d ==> a + 2a = 2d + 2a = 2*(a + d) = 2*10 = 20 = 3a (Widerspruch)
10 + d - a = d ==> a = 10 (Widerspruch)
Somit muss entweder a - d = b oder a - d = c gelten.
Also müssen a und d entweder beide gerade oder ungerade sein. Analog müssen dann auch b und c entweder beide gerade oder ungerade sein.
Insgesamt folgt da b > c (b = c wurde ausgeschlossen), dass auch a > d gilt. Außerdem muss b um mindestens 2 größer sein als c und es gilt b + c = 10 und a + d = 8.
Insbesondere folgt aus b + c = 10 und b > c unmittelbar b > 5, sowie aus a + d = 8 unmittelbar 6<=a<=8.
Jetzt kann man die folgenden Fälle betrachten.
Fall 1: a = 6 ==> d = 2 ==> b = 6 ==> c = 4. Aber 6642 - 2466 = 4176 ==> kein Code
Fall 2: a = 7 ==> d = 1 Fall 2a: b = 7 ==> c = 3. Aber 7731 - 1377 = 6354 ==> kein Code
Fall 2b: b = 6 ==> c = 4. 7641 - 1467 = 6174 ==> 6174 ist ein Code
Fall 3: a = 8 ==> d = 0 Fall 3a: b = 8 ==> c = 2. Aber 8820 - 0288 = 8532 ==> kein Code
Fall 3b: b = 7 ==> c = 3. Aber 8730 - 0378 = 8352 ==> kein Code
Fall 3c: b = 6 ==> c = 4. Aber 8640 - 0468 = 8172 ==> kein Code
Somit gibt es nur einen Code, nämlich 6174, der dankenswerterweise auch auf dem wunderschönen Bild zur Aufgabe zu lesen ist
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Sei abcd eine Permutation eines solchen Codes mit a>=b>=c>=d.
Bildet man die Differenz: abcd - dcba = 1000*(a-d) + 100*(b-c) + 10*(c-b) + d-a = 999*(a-d) + 90*(b-c) = 9*(111*(a-d) + 10*(b-c))
dann folgt sofort, dass die Zahl durch 9 teilbar sein muss und damit auch die Quersumme Q= a + b + c + d.
==> Q = k*9 mit zunächst 1<=k<=4.
k=4 würde bedeuten a=b=c=d, was laut Aufgabenstellung ausgeschlossen ist.
Jetzt hilft uns natürlich, dass laut Aufgabentext eine der Ziffern eine 6 sein muss. ==> a>=6 (ohne diesen Hinweis wäre es "zäh" geworden)
Da gibt es jetzt also noch genau drei Fälle: 6300 , 6210 und 6111
6300 - 0036 = 6264 ==> kein Code ; 6210 - 0126 = 6084 ==> kein Code ; 6111 - 1116 = 4995 ==> kein Code.
Somit geht k = 1 auch nicht.
A: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c ungleich b ist: a - d ; b - (c +1) ; 9 + c - b ; 10 + d - a
B: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c = b ist: a - d - 1 ; 9 ; 9 ; 10 + d - a
Fall B: Quersumme ist größer als 18 ==> k = 3, also Q = 27 und zusätzlich wären zwei Ziffern des Codes 9 ==> 9963. Da 9963 - 3699 = 6264 ==> kein Code.
Somit ist Fall B nicht möglich.
Fall A: Q = a - d + b - c - 1 + 9 + c - b + 10 + d - a = -1 + 9 + 10 = 18 ==> k = 3 geht nicht, also muss k = 2 sein.
Addiert die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz so erhält man: a - d + 10 + d - a = 10 ==> Die beiden äußeren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Addiert man die beiden "mittleren" Ziffern der Differenz, so erhält man: b - c - 1 + 9 + c - b = 8 ==> Die beiden inneren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz können weder a noch d lauten, sonst müsste gelten: a - d = a ==> d = 0 ==> a + d ungleich 10 (Widerspruch)
10 + d - a = a ==> 2a = 10 + d ==> 2a + a = 10 + d + a = 10 + 10 = 20 = 3a (Widerspruch).
a - d = d ==> a = 2d ==> a + 2a = 2d + 2a = 2*(a + d) = 2*10 = 20 = 3a (Widerspruch)
10 + d - a = d ==> a = 10 (Widerspruch)
Somit muss entweder a - d = b oder a - d = c gelten.
Also müssen a und d entweder beide gerade oder ungerade sein. Analog müssen dann auch b und c entweder beide gerade oder ungerade sein.
Insgesamt folgt da b > c (b = c wurde ausgeschlossen), dass auch a > d gilt. Außerdem muss b um mindestens 2 größer sein als c und es gilt b + c = 10 und a + d = 8.
Insbesondere folgt aus b + c = 10 und b > c unmittelbar b > 5, sowie aus a + d = 8 unmittelbar 6<=a<=8.
Jetzt kann man die folgenden Fälle betrachten.
Fall 1: a = 6 ==> d = 2 ==> b = 6 ==> c = 4. Aber 6642 - 2466 = 4176 ==> kein Code
Fall 2: a = 7 ==> d = 1 Fall 2a: b = 7 ==> c = 3. Aber 7731 - 1377 = 6354 ==> kein Code
Fall 2b: b = 6 ==> c = 4. 7641 - 1467 = 6174 ==> 6174 ist ein Code
Fall 3: a = 8 ==> d = 0 Fall 3a: b = 8 ==> c = 2. Aber 8820 - 0288 = 8532 ==> kein Code
Fall 3b: b = 7 ==> c = 3. Aber 8730 - 0378 = 8352 ==> kein Code
Fall 3c: b = 6 ==> c = 4. Aber 8640 - 0468 = 8172 ==> kein Code
Somit gibt es nur einen Code, nämlich 6174, der dankenswerterweise auch auf dem wunderschönen Bild zur Aufgabe zu lesen ist
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