Die genannte Lösung kaufe ich leider so nicht, und ich kann sie auch nicht so recht nachvollziehen. Das Färbungsprinzip allein hilft hier nicht, und ich halte die genannte Lösung auch weder für richtig noch für ausreichend begründet, denn mit Dominosteinen kann man das gesamte Feld überdecken, da jede Farbe genau 17mal vorkommt.
Ich präsentiere hier mal meine Lösung:
Anhand des Beispiels in der Aufgabenstellung sieht man, dass die Anzahl der geprüften Quadrate zählt, dh, auch wenn sie ihr Startfeld zweimal betritt, zählt das als ein Quadrat. Im Beispiel prüft sie 6 Quadrate. Wenn man das Färbungsprinzip zugrunde legt, sieht man, dass sich die Feldfarbe nach jedem Schritt ändert (siehe auch weiter unten). Daher muss die Zahl der geprüften Quadrate auf jeden Fall gerade sein!
Wir nummerieren die Felder durch von rechts nach links und von oben nach unten. Dh oberste Reihe Felder A1-A9, zweite Reihe Felder B1-B9 (Nummer B5 ist kaputt), dritte Reihe C1-C9 (Nummer C5 ist kaputt), unterste Reihe Felder D1-D9.
Zuerst zeigen wir, dass sie maximal 32 Felder ablaufen kann. Dafür färben wir nach dem bekannten Muster die Felder immer abwechselnd schwarz-weiß und sehen: Wir bekommen 17 schwarze und 17 weiße. Sie läuft zunächst einen langen Schritt (Springer-Zug) und dann einen einzelnen Schritt auf ein benachbartes Feld, dh, bei jedem Schritt ändert sich die Feldfarbe. Theoretisch könnte sie also alle 34 Felder ablaufen. Warum sind es trotzdem nur 32?
Schauen wir uns an, wie der Springer-Zug funktioniert: Man geht einen Schritt auf ein benachbartes Feld, dann einen Schritt diagonal, so dass man nicht auf einem benachbarten Feld landet. In unserem Falle heißt das: Egal, von wo aus man losläuft, die Felder in den Reihen B und C sind zwingend am Springer-Zug beteiligt. Entweder startet man von da aus oder man landet dort. Da es in diesen beiden Reihen aber nur noch 16 begehbare Felder gibt, kann es maximal 16 Doppelschritte (langer Schritt plus kurzer Schritt) geben, also insgesamt 32 Quadrate, die geprüft werden (nochmals: Das Anfangsfeld wird zwar zweimal betreten, zählt aber nur als ein abgelaufenes Quadrat).
Jetzt zeigen wir eine Lösung, wo die 32 Quadrate auch tatsächlich abgelaufen werden:
Wir starten oben in der Mitte auf Feld A5, dann geht eine mögliche Feldfolge so:
A5 - A4 - B2 - B1 - A3 - B3 - A1 - A2 - B4 - (alle Felder des oberen linken 2x4-Rechtecks abgelaufen, da unser nächster Schritt ein kleiner ist, spiegeln wir das jetzt
C4 - D2 - D1 - C3 - D3 - C1 - C2 - D4 - D5 - (alle Felder des linken 4x4-Quadrates abgelaufen plus die Felder oberhalb und unterhalb der Bruchstelle)
C7 - C6 - D8 - C8 - D6 - D7 - C9 - (untere Hälfte des rechten 4x4-Quadrates durch, wieder haben wir einen kleinen Schritt vor uns, deshalb spiegeln wir jetzt wieder)
B9 - A7 - A6 - B8 - A8 - B6 - B7 und dann wieder zurück auf A5.
Macht 32 betretene Quadrate. Die richtige Lösung ist meiner Ansicht nach also 3.
Ich präsentiere hier mal meine Lösung:
Anhand des Beispiels in der Aufgabenstellung sieht man, dass die Anzahl der geprüften Quadrate zählt, dh, auch wenn sie ihr Startfeld zweimal betritt, zählt das als ein Quadrat. Im Beispiel prüft sie 6 Quadrate. Wenn man das Färbungsprinzip zugrunde legt, sieht man, dass sich die Feldfarbe nach jedem Schritt ändert (siehe auch weiter unten). Daher muss die Zahl der geprüften Quadrate auf jeden Fall gerade sein!
Wir nummerieren die Felder durch von rechts nach links und von oben nach unten. Dh oberste Reihe Felder A1-A9, zweite Reihe Felder B1-B9 (Nummer B5 ist kaputt), dritte Reihe C1-C9 (Nummer C5 ist kaputt), unterste Reihe Felder D1-D9.
Zuerst zeigen wir, dass sie maximal 32 Felder ablaufen kann. Dafür färben wir nach dem bekannten Muster die Felder immer abwechselnd schwarz-weiß und sehen: Wir bekommen 17 schwarze und 17 weiße. Sie läuft zunächst einen langen Schritt (Springer-Zug) und dann einen einzelnen Schritt auf ein benachbartes Feld, dh, bei jedem Schritt ändert sich die Feldfarbe. Theoretisch könnte sie also alle 34 Felder ablaufen. Warum sind es trotzdem nur 32?
Schauen wir uns an, wie der Springer-Zug funktioniert: Man geht einen Schritt auf ein benachbartes Feld, dann einen Schritt diagonal, so dass man nicht auf einem benachbarten Feld landet. In unserem Falle heißt das: Egal, von wo aus man losläuft, die Felder in den Reihen B und C sind zwingend am Springer-Zug beteiligt. Entweder startet man von da aus oder man landet dort. Da es in diesen beiden Reihen aber nur noch 16 begehbare Felder gibt, kann es maximal 16 Doppelschritte (langer Schritt plus kurzer Schritt) geben, also insgesamt 32 Quadrate, die geprüft werden (nochmals: Das Anfangsfeld wird zwar zweimal betreten, zählt aber nur als ein abgelaufenes Quadrat).
Jetzt zeigen wir eine Lösung, wo die 32 Quadrate auch tatsächlich abgelaufen werden:
Wir starten oben in der Mitte auf Feld A5, dann geht eine mögliche Feldfolge so:
A5 - A4 - B2 - B1 - A3 - B3 - A1 - A2 - B4 - (alle Felder des oberen linken 2x4-Rechtecks abgelaufen, da unser nächster Schritt ein kleiner ist, spiegeln wir das jetzt
C4 - D2 - D1 - C3 - D3 - C1 - C2 - D4 - D5 - (alle Felder des linken 4x4-Quadrates abgelaufen plus die Felder oberhalb und unterhalb der Bruchstelle)
C7 - C6 - D8 - C8 - D6 - D7 - C9 - (untere Hälfte des rechten 4x4-Quadrates durch, wieder haben wir einen kleinen Schritt vor uns, deshalb spiegeln wir jetzt wieder)
B9 - A7 - A6 - B8 - A8 - B6 - B7 und dann wieder zurück auf A5.
Macht 32 betretene Quadrate. Die richtige Lösung ist meiner Ansicht nach also 3.