4 Lösung / Solution

[MatheJuergen]

Ich habe zu Beginn auch viel zu kompliziert gedacht und die vielen Hin- und Herwege (tiefer in den Wald rein und dann wieder näher zum Ausgang usw.) betrachtet. 
Dann habe ich einen Reset gemacht und mich überhaupt nicht dafür interessiert wie und nach wie vielen Schritten man auf eine bestimmte Lichtung (eigentlich Lichtungsstufe) kommt, sondern nur noch wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist von dieser Lichtung ohne Umwege zum Ausgang zu kommen.
Das führt direkt auf die geometrische Reihe mit q = 1/3, allerdings ohne das Startglied q^0 = 1. Diese Reihe hat den Grenzwert 1/(1-q)  - 1 = 3/2 - 1 = 1/2.

Die Idee verstehe ich überhaupt nicht. 42 geteilt durch 84 ist auch 1/2, aber hat nichts mit der Frage zu tun. 
Warum ist es gleichwertig alle lichtungen ohne Umwege zusammenzuzählen, und alle Umwege von der ersten Lichtung?

Na ja, welch Irrtum deinerseits  42 ......usw. hat natürlich mit der Frage zu tun......  (denn bekanntlich ist ja 42 die Antwort auf alle Fragen).
Doch jetzt ernsthaft: 
Man kann sich das Problem wie einen linearen "random walk" mit unendlich vielen Zuständen vorstellen. Sagen wir mal links ist der Ausgang und nach rechts geht es tiefer in den Wald hinein. Die Wahrscheinlichkeit sich von einer der Lichtungen L_k nach links zu bewegen ist 1/3 und nach rechts 2/3.
Zunächst habe ich nur die Wege, die direkt von L_k zum Ausgang führen betrachtet, um eine untere Schranke für die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Mit dieser unteren Schranke kann man ja auch schon einige Antwortmöglichkeiten (Die Antworten 1 bis 5) ausschließen. Danach habe ich versucht die "indirekten" Wege zu untersuchen, also z.B. L_1 --> L_2 --> L_1 -->Ausgang usw.
Dabei kam zumindest ich schnell an meine Grenzen, denn das sind schon verdammt viele Möglichkeiten. Aber dann schaute ich mir den oben betrachteten Weg mal genauer an und da fiel mir auf, dass da ja auch der direkte Weg von L_2 zum Ausgang mit enthalten ist. Diesen Weg zähle ich also doppelt, genau genommen noch n-fach, denn schließlich beinhalten alle indirekten Wege zum Ausgang auch die Sequenz L_2 --> L_1 --> Ausgang.
Also entschied ich mich "intuitiv" nur die direkten Wege zu zählen. 
Dann hab ich zur "Absicherung" einen endlichen linearen "random walk" betrachtet, der außer dem absorbierenden Zustand links (Ausgang) noch einen absorbierenden Zustand rechts (verloren im Wald) einführte.
Ich habe dann den Startvektor ( 0 ; 1 ; 0 ; .....; 0) für verschiedene n mit der n x n Übergangsmatrix sehr sehr oft multipliziert (natürlich mit einem technischen Hilfsmittel: GTR CG-50). Und dann führte dieses symmetrische Problem zu für große n zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 am linken Ende zu landen (also Ausgang). Das ist praktisch die gleiche Situation wie bei Aufgabe 20 im 1.Jahr.
Natürlich ist in meiner Erläuterung kein exakter Beweis enthalten, dass sich das genau ausgleicht, aber offensichtlich ist es so.