Im "Buch" erklärt sich das vermutlich ein wenig eleganter... aber versuchen wir es trotzdem mal mit der Rückrichtung, der Hinlänglichkeit. Sie wirkt stellenweise ein wenig tricky, Irrtümer vorbehalten.
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n Farben, m Symbole, oBdA m ≥ n.
Einfacher als das Vergleichen der Anzahl der ausgewählten Karten (als Produkt) scheint das Betrachten der Löcher (als Summe).
mindestens (n-1)(m-1) + 2 Karten ↔ maximal ( n + m - 3 ) Löcher
Ziel ist nun das Ablegen der Karten geordnet nach Farben in einer gewissen geeigneten Farbabfolge X1-X2-...-Xn, also erst alle Symbole der Farbe X1 mit abschließendem Verbindungssymbol zu X2, dann alle Symbole von X2 mit abschließendem Übergang zur nächsten Farbe, usw.
Zwei Farben heißen
- "nicht verbunden", wenn sie kein gemeinsames Symbol haben
- "verbunden" bei (mind.) einem gemeinsamen Symbol
- "doppelt verbunden" bei (mind.) zwei gemeinsamen Symbolen
- "einfach verbunden" bei genau einem gemeinsamen Symbol
Folgerungen:
→ Keine Farbe ist "isoliert", d.h. mit keiner anderen Farbe verbunden. (1
→ Keine Auswahl M von Farben ist "isoliert", d.h. es gibt immer eine Farbe in M, die mit einer Farbe außerhalb von M verbunden ist, (1
→ Drei Farben A,B,C paarweise nicht verbunden ist nicht möglich. (2
→ Es gibt keine vier (paarweise verschiedenen) Farben A,B,C,D, dass A,B "einfach verbunden" und C,D "einfach verbunden" sind. (3
Zwei Paare einfach verbundener Farben kann es also nur geben, wenn sie beide eine Farbe Z gemeinsam haben.
→ Sind A-Z und Z-B jeweils einfach verbunden, mit verschiedenen Symbolen, so ist A-B verbunden. (4a
→ Sind A-Z und Z-B jeweils einfach verbunden, mit dem gleichen Symbol, so ist A-B doppelt verbunden. (4b
Und damit final die "Sternkonstellation".
→ Gibt es mehr als zwei Einfachverbindungen zu einer Farbe Z, so sind die entsprechend verbundenen Farben paarweise doppelt verbunden. (5
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Konstruieren nun schrittweise eine Farbabfolge X1-X2-...-Xn von verbundenen Farben.
Wir beginnen mit zwei verbundenen Farben X1-X2.
Zu jeder Folge X1-X2-...-Xi gibt es mind. eine verbleibende Farbe R, die mit einer der bisher verwendeten Farben verbunden ist, sonst wäre die Menge der Farben der bisherigen Folge ja isoliert.
Wenn möglich, wählen wir eine Farbe, die mit X1 oder Xi verbunden ist. In diesem Falle können wir sie einfach der Farbfolge voranstellen (mit entsprechender Änderung der Indizes) oder als X(i+1) = R anhängen.
Ist dies nicht möglich, gibt es nur Farben im Inneren der Folge, die mit R verbunden sind. Wählen eine solche Farbe Xj. Wären Anfang X1 und Ende Xi ihrerseits nicht verbunden, hätten wir drei paarweise nicht verbundene Farben {R,X1,Xi}, was ja nicht geht. Somit sind in diesem Falle auch Anfang und Ende der Folge verbunden, d.h. man kann die Folge "rotieren", bis Xj am Ende steht. Und dann R anhängen.
Auf diese Weise erhalten wir schließlich die gewünschte Farbabfolge.
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DAS Problem bei Farbübergängen ist, dass nicht das gleiche Übergangssymbol zum Verlassen einer Farbe verwendet werden kann, falls mit diesem vorher anfänglich schon in diese Farbe hinein gewechselt wurde.
Bei doppelt verbundenen Farben stellt dies kein Problem dar, da man im Falle einer solchen "Kollision" die Farbe mit dem anderen Symbol verlassen kann.
Auch im Falle einer einzigen Einfachverbindung kann man, ausgehend von dieser, die folgenden doppelten Verbindungen bei evtl. Kollisionen triggern. Ist die Einfachverbindung in der Mitte der Farbfolge, so erfolgt das Triggern davon ausgehend in beide Richtungen.
Abgesehen von den Verbindungsfällen 4a) 4b) 5) kann es später keine weiteren Einfachverbindungen mehr geben, wegen 3). Verbindungsfall 4a) stellt darunter wegen des dabei erfolgenden Symbolwechsels natürlich kein Problem dar.
Problematisch bleiben alleine 4b) und 5).
Die Entstehung zweier Einfachverbindungen zu solch einem "Sternzentrum" Z sollte daher gleich bei der Konstruktion der Farbfolge vermieden werden.
Wie?
Im Falle einer Sternkonstellation beginnt man mit Z, gefolgt von ALLEN Farben mit Einfachverbindung mit Z. Dies geht, da diese Farben wegen 4) 5) auch paarweise untereinander verbunden sein müssen. Damit gibt es entweder den Fall 4a) Z-A-B oder außer der ersten Einfachverbindung X1-X2 darauf folgend nur Doppelverbindungen. In der weiteren Konstruktionsfolge kann dann logischerweise keine weitere Einfachverbindung zu Z mehr entstehen.
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(1
Beides folgt unmittelbar aus max. m + n - 3 Löchern,
→ minimale Lochzahl bei isolierter Einzelkarte
x - - - - - - -
- x x x x x x x
- x x x x x x x
- x x x x x x x
- x x x x x x x
→ mehr Löcher bei Vergrößerung von isolierten Farb-/Symbol-Mengen
x x x - - - - -
- - - x x x x x
- - - x x x x x
- - - x x x x x
- - - x x x x x
x x x - - - - -
x x x - - - - -
- - - x x x x x
- - - x x x x x
- - - x x x x x
(2
sonst mind. 2m Löcher
(3
sonst gäbe es mind. 2m - 2 > m + n - 3 Löcher
A-B einfach verbunden → mind. m-1 Löcher in {A,B}
(4a
sonst mind 2(m-2) + 2 = 2m -2 Löcher
A x - . . . .
Z x x . . . .
C - x . . . .
(4b
sonst mind. 2(m-1) Löcher
A x . . . . .
Z x . . . . .
C x . . . . .
(5
verbunden müssen sie sein, wegen 4)
dann sogar doppelt verbunden wegen 3)
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Ein gesundes Neues Jahr !
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n Farben, m Symbole, oBdA m ≥ n.
Einfacher als das Vergleichen der Anzahl der ausgewählten Karten (als Produkt) scheint das Betrachten der Löcher (als Summe).
mindestens (n-1)(m-1) + 2 Karten ↔ maximal ( n + m - 3 ) Löcher
Ziel ist nun das Ablegen der Karten geordnet nach Farben in einer gewissen geeigneten Farbabfolge X1-X2-...-Xn, also erst alle Symbole der Farbe X1 mit abschließendem Verbindungssymbol zu X2, dann alle Symbole von X2 mit abschließendem Übergang zur nächsten Farbe, usw.
Zwei Farben heißen
- "nicht verbunden", wenn sie kein gemeinsames Symbol haben
- "verbunden" bei (mind.) einem gemeinsamen Symbol
- "doppelt verbunden" bei (mind.) zwei gemeinsamen Symbolen
- "einfach verbunden" bei genau einem gemeinsamen Symbol
Folgerungen:
→ Keine Farbe ist "isoliert", d.h. mit keiner anderen Farbe verbunden. (1
→ Keine Auswahl M von Farben ist "isoliert", d.h. es gibt immer eine Farbe in M, die mit einer Farbe außerhalb von M verbunden ist, (1
→ Drei Farben A,B,C paarweise nicht verbunden ist nicht möglich. (2
→ Es gibt keine vier (paarweise verschiedenen) Farben A,B,C,D, dass A,B "einfach verbunden" und C,D "einfach verbunden" sind. (3
Zwei Paare einfach verbundener Farben kann es also nur geben, wenn sie beide eine Farbe Z gemeinsam haben.
→ Sind A-Z und Z-B jeweils einfach verbunden, mit verschiedenen Symbolen, so ist A-B verbunden. (4a
→ Sind A-Z und Z-B jeweils einfach verbunden, mit dem gleichen Symbol, so ist A-B doppelt verbunden. (4b
Und damit final die "Sternkonstellation".
→ Gibt es mehr als zwei Einfachverbindungen zu einer Farbe Z, so sind die entsprechend verbundenen Farben paarweise doppelt verbunden. (5
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Konstruieren nun schrittweise eine Farbabfolge X1-X2-...-Xn von verbundenen Farben.
Wir beginnen mit zwei verbundenen Farben X1-X2.
Zu jeder Folge X1-X2-...-Xi gibt es mind. eine verbleibende Farbe R, die mit einer der bisher verwendeten Farben verbunden ist, sonst wäre die Menge der Farben der bisherigen Folge ja isoliert.
Wenn möglich, wählen wir eine Farbe, die mit X1 oder Xi verbunden ist. In diesem Falle können wir sie einfach der Farbfolge voranstellen (mit entsprechender Änderung der Indizes) oder als X(i+1) = R anhängen.
Ist dies nicht möglich, gibt es nur Farben im Inneren der Folge, die mit R verbunden sind. Wählen eine solche Farbe Xj. Wären Anfang X1 und Ende Xi ihrerseits nicht verbunden, hätten wir drei paarweise nicht verbundene Farben {R,X1,Xi}, was ja nicht geht. Somit sind in diesem Falle auch Anfang und Ende der Folge verbunden, d.h. man kann die Folge "rotieren", bis Xj am Ende steht. Und dann R anhängen.
Auf diese Weise erhalten wir schließlich die gewünschte Farbabfolge.
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DAS Problem bei Farbübergängen ist, dass nicht das gleiche Übergangssymbol zum Verlassen einer Farbe verwendet werden kann, falls mit diesem vorher anfänglich schon in diese Farbe hinein gewechselt wurde.
Bei doppelt verbundenen Farben stellt dies kein Problem dar, da man im Falle einer solchen "Kollision" die Farbe mit dem anderen Symbol verlassen kann.
Auch im Falle einer einzigen Einfachverbindung kann man, ausgehend von dieser, die folgenden doppelten Verbindungen bei evtl. Kollisionen triggern. Ist die Einfachverbindung in der Mitte der Farbfolge, so erfolgt das Triggern davon ausgehend in beide Richtungen.
Abgesehen von den Verbindungsfällen 4a) 4b) 5) kann es später keine weiteren Einfachverbindungen mehr geben, wegen 3). Verbindungsfall 4a) stellt darunter wegen des dabei erfolgenden Symbolwechsels natürlich kein Problem dar.
Problematisch bleiben alleine 4b) und 5).
Die Entstehung zweier Einfachverbindungen zu solch einem "Sternzentrum" Z sollte daher gleich bei der Konstruktion der Farbfolge vermieden werden.
Wie?
Im Falle einer Sternkonstellation beginnt man mit Z, gefolgt von ALLEN Farben mit Einfachverbindung mit Z. Dies geht, da diese Farben wegen 4) 5) auch paarweise untereinander verbunden sein müssen. Damit gibt es entweder den Fall 4a) Z-A-B oder außer der ersten Einfachverbindung X1-X2 darauf folgend nur Doppelverbindungen. In der weiteren Konstruktionsfolge kann dann logischerweise keine weitere Einfachverbindung zu Z mehr entstehen.
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(1
Beides folgt unmittelbar aus max. m + n - 3 Löchern,
→ minimale Lochzahl bei isolierter Einzelkarte
x - - - - - - -
- x x x x x x x
- x x x x x x x
- x x x x x x x
- x x x x x x x
→ mehr Löcher bei Vergrößerung von isolierten Farb-/Symbol-Mengen
x x x - - - - -
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x x x - - - - -
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- - - x x x x x
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(2
sonst mind. 2m Löcher
(3
sonst gäbe es mind. 2m - 2 > m + n - 3 Löcher
A-B einfach verbunden → mind. m-1 Löcher in {A,B}
(4a
sonst mind 2(m-2) + 2 = 2m -2 Löcher
A x - . . . .
Z x x . . . .
C - x . . . .
(4b
sonst mind. 2(m-1) Löcher
A x . . . . .
Z x . . . . .
C x . . . . .
(5
verbunden müssen sie sein, wegen 4)
dann sogar doppelt verbunden wegen 3)
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Ein gesundes Neues Jahr !