Na dann versuche ich es mal komplizierter! (Dafür ohne Fallunterscheidung.)
Für das 1x10-Plätzchen: Wenn ich f Felder glasieren will, brauche ich auf jeden Fall ein Muster 1010...01 mit f Einsen.
Es bleiben noch 10 - f - (f-1) = 11 - 2f weitere Teilplätzchen, die nicht glasiert werden.
Dafür habe ich f - 1 + 2 = f + 1 Stellen: jedes 0 kann verdoppelt werden, ganz links und ganz rechts.
An jede Stelle kann nur höchstens ein weiteres unglasiertes Teilplätzchen.
Mit f glasierten Teilplätzchen gibt es also 11-2f aus f+1 = $\binom{f+1}{11-2f}$ mögliche Anordnungen.
($\binom{n}{k}) ist der Binomialkoeffizient).
Für das 1x10-Plätzchen gibt es also
$$ \sum_f \binom{f+1}{11-2f} = 10 + 6 $$
Möglichkeiten.
Die (übliche) Konvention $\binom{n}{k} = 0$ für k<0 oder k > n
sorgt, dafür, dass nur f=4 und f=5 zur Summe beitragen.
Beim 2x5 Plätzchen kann jedes glasierte Teilplätzchen oben oder unten sein,
ansonsten lässt sich das Problem wie 1x5 behandeln. Es gibt also
$$ \sum_f 2^f \binom{f+1}{6-2f} = 4*3 + 8*1 = 20$$
Möglichkeiten.
PS: Leider habe ich nicht gefunden, wie formatierte Formeln einzugeben sind. Das schiene mir für das Lösungsforum nützlich.
Für das 1x10-Plätzchen: Wenn ich f Felder glasieren will, brauche ich auf jeden Fall ein Muster 1010...01 mit f Einsen.
Es bleiben noch 10 - f - (f-1) = 11 - 2f weitere Teilplätzchen, die nicht glasiert werden.
Dafür habe ich f - 1 + 2 = f + 1 Stellen: jedes 0 kann verdoppelt werden, ganz links und ganz rechts.
An jede Stelle kann nur höchstens ein weiteres unglasiertes Teilplätzchen.
Mit f glasierten Teilplätzchen gibt es also 11-2f aus f+1 = $\binom{f+1}{11-2f}$ mögliche Anordnungen.
($\binom{n}{k}) ist der Binomialkoeffizient).
Für das 1x10-Plätzchen gibt es also
$$ \sum_f \binom{f+1}{11-2f} = 10 + 6 $$
Möglichkeiten.
Die (übliche) Konvention $\binom{n}{k} = 0$ für k<0 oder k > n
sorgt, dafür, dass nur f=4 und f=5 zur Summe beitragen.
Beim 2x5 Plätzchen kann jedes glasierte Teilplätzchen oben oder unten sein,
ansonsten lässt sich das Problem wie 1x5 behandeln. Es gibt also
$$ \sum_f 2^f \binom{f+1}{6-2f} = 4*3 + 8*1 = 20$$
Möglichkeiten.
PS: Leider habe ich nicht gefunden, wie formatierte Formeln einzugeben sind. Das schiene mir für das Lösungsforum nützlich.