lukas
4 Lösung / Solution
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4 Lösung / Solution
Ich kopier mal mein Latex-File hinein:

Aus Symmetriegründen hängt die Wahrscheinlichkeit, von einer Lichtung zurück zum Eingang zu finden, lediglich von der Entfernung zum Eingang ab. Sei $p_i$ die Wahrscheinlichkeit von der Lichtung mit dem Abstand $i$ zum Eingang zurückzufinden. Am Eingang selbst ist Gilfi mit Sicherheit draußen, also ist $p_0=1$.

Die Wanderung von Gimli entspricht mathematisch einer Markow-Kette. An einer Lichtung mit Abstand $i$ gelangt Gimli im nächsten Schritt mit Wahrscheinlichkeit $1/3$ zu einer Lichtung mit Abstand $i-1$, während er mit Wahrscheinlichkeit $2/3$ seinen Abstand auf $i+1$ vergrößert. Im stationären Zustand gilt somit für die Wahrscheinlichkeiten

\[
p_i = \frac{1}{3} p_{i-1} + \frac{2}{3} p_{i+1} \quad .
\]

Ohne auf die Herleitung einzugehen, wissen alte Hasen, dass sich die Lösung dieser Gleichung als Linearkombination aus Exponentialfunktionen schreiben lässt.

Ansatz: $p_i=a^i$

Daraus folgt dann

\[
a^i = \frac{1}{3} a^{i-1} + \frac{2}{3} a^{i+1} \quad .
\]

Dies führt auf die quadratische Gleichung

\[
0 = \frac{2}{3} a^2 - a + \frac{1}{3}
\]

mit den Lösungen $a_1=\frac{1}{2}$ und $a_2=1$.

Das heißt, die allgemeine Lösung hat dann die Form

\[
p_i = c_1 \cdot {a_1}^i + c_2 \cdot {a_2}^i \quad .
\]

Wir wissen, dass $p_0=1$. Ferner können wir fordern, dass die Wahrscheinlichkeit, aus dem Wald herauszukommen im Unendlichen gegen 0 gehen muss. Daher kann der Term mit $a_2=1$ ausgeschlossen werden, d.\,h.\ $c_2=0$. Durch Einsetzen von $i=0$ erhält man danach $c_1=1$. Also gilt

\[
p_i = \left( \frac{1}{2} \right)^i \quad .
\]

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gilmi von einer Lichtung mit Abstand $i=1$ aus dem Wald herausfindet, $p_1=1/2$.


Nachrichten in diesem Thema
4 Lösung / Solution - von lukas - 12-12-2024, 04:53 PM
RE: 4 Lösung / Solution - von st1974 - 12-12-2024, 04:57 PM
RE: 4 Lösung / Solution - von Lemfan - 12-12-2024, 05:58 PM
RE: 4 Lösung / Solution - von Abraxas - 12-12-2024, 06:11 PM
RE: 4 Lösung / Solution - von Gramar - 12-12-2024, 07:20 PM
RE: 4 Lösung / Solution - von DFUx - 12-12-2024, 07:48 PM
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RE: 4 Lösung / Solution - von saltus - 12-13-2024, 09:04 AM
RE: 4 Lösung / Solution - von thematik - 12-13-2024, 10:45 AM
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RE: 4 Lösung / Solution - von marac - 12-13-2024, 04:39 PM
RE: 4 Lösung / Solution - von Linsen_mit_Spatzle - 12-16-2024, 10:23 PM

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