Ich kopier mal mein Latex-File hinein:
Aus Symmetriegründen hängt die Wahrscheinlichkeit, von einer Lichtung zurück zum Eingang zu finden, lediglich von der Entfernung zum Eingang ab. Sei $p_i$ die Wahrscheinlichkeit von der Lichtung mit dem Abstand $i$ zum Eingang zurückzufinden. Am Eingang selbst ist Gilfi mit Sicherheit draußen, also ist $p_0=1$.
Die Wanderung von Gimli entspricht mathematisch einer Markow-Kette. An einer Lichtung mit Abstand $i$ gelangt Gimli im nächsten Schritt mit Wahrscheinlichkeit $1/3$ zu einer Lichtung mit Abstand $i-1$, während er mit Wahrscheinlichkeit $2/3$ seinen Abstand auf $i+1$ vergrößert. Im stationären Zustand gilt somit für die Wahrscheinlichkeiten
\[
p_i = \frac{1}{3} p_{i-1} + \frac{2}{3} p_{i+1} \quad .
\]
Ohne auf die Herleitung einzugehen, wissen alte Hasen, dass sich die Lösung dieser Gleichung als Linearkombination aus Exponentialfunktionen schreiben lässt.
Ansatz: $p_i=a^i$
Daraus folgt dann
\[
a^i = \frac{1}{3} a^{i-1} + \frac{2}{3} a^{i+1} \quad .
\]
Dies führt auf die quadratische Gleichung
\[
0 = \frac{2}{3} a^2 - a + \frac{1}{3}
\]
mit den Lösungen $a_1=\frac{1}{2}$ und $a_2=1$.
Das heißt, die allgemeine Lösung hat dann die Form
\[
p_i = c_1 \cdot {a_1}^i + c_2 \cdot {a_2}^i \quad .
\]
Wir wissen, dass $p_0=1$. Ferner können wir fordern, dass die Wahrscheinlichkeit, aus dem Wald herauszukommen im Unendlichen gegen 0 gehen muss. Daher kann der Term mit $a_2=1$ ausgeschlossen werden, d.\,h.\ $c_2=0$. Durch Einsetzen von $i=0$ erhält man danach $c_1=1$. Also gilt
\[
p_i = \left( \frac{1}{2} \right)^i \quad .
\]
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gilmi von einer Lichtung mit Abstand $i=1$ aus dem Wald herausfindet, $p_1=1/2$.
Aus Symmetriegründen hängt die Wahrscheinlichkeit, von einer Lichtung zurück zum Eingang zu finden, lediglich von der Entfernung zum Eingang ab. Sei $p_i$ die Wahrscheinlichkeit von der Lichtung mit dem Abstand $i$ zum Eingang zurückzufinden. Am Eingang selbst ist Gilfi mit Sicherheit draußen, also ist $p_0=1$.
Die Wanderung von Gimli entspricht mathematisch einer Markow-Kette. An einer Lichtung mit Abstand $i$ gelangt Gimli im nächsten Schritt mit Wahrscheinlichkeit $1/3$ zu einer Lichtung mit Abstand $i-1$, während er mit Wahrscheinlichkeit $2/3$ seinen Abstand auf $i+1$ vergrößert. Im stationären Zustand gilt somit für die Wahrscheinlichkeiten
\[
p_i = \frac{1}{3} p_{i-1} + \frac{2}{3} p_{i+1} \quad .
\]
Ohne auf die Herleitung einzugehen, wissen alte Hasen, dass sich die Lösung dieser Gleichung als Linearkombination aus Exponentialfunktionen schreiben lässt.
Ansatz: $p_i=a^i$
Daraus folgt dann
\[
a^i = \frac{1}{3} a^{i-1} + \frac{2}{3} a^{i+1} \quad .
\]
Dies führt auf die quadratische Gleichung
\[
0 = \frac{2}{3} a^2 - a + \frac{1}{3}
\]
mit den Lösungen $a_1=\frac{1}{2}$ und $a_2=1$.
Das heißt, die allgemeine Lösung hat dann die Form
\[
p_i = c_1 \cdot {a_1}^i + c_2 \cdot {a_2}^i \quad .
\]
Wir wissen, dass $p_0=1$. Ferner können wir fordern, dass die Wahrscheinlichkeit, aus dem Wald herauszukommen im Unendlichen gegen 0 gehen muss. Daher kann der Term mit $a_2=1$ ausgeschlossen werden, d.\,h.\ $c_2=0$. Durch Einsetzen von $i=0$ erhält man danach $c_1=1$. Also gilt
\[
p_i = \left( \frac{1}{2} \right)^i \quad .
\]
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gilmi von einer Lichtung mit Abstand $i=1$ aus dem Wald herausfindet, $p_1=1/2$.