Lösungsweg

[margarita]

Wie habt ihr die Aufgabe gelöst?

[DFUx]

Bei mir hat der Pythagoras zweimal geholfen:

Die Länge von Förderband 2 ist so groß wie die Wurzel aus 200^2 - (50+70)^2.
Und die Länge von Förderband 1 ergibt sich durch Wurzel aus 200^2 - (70-50)^2.

Also L2 = 160m und L1 = ca. 199m.

[Armin Gips]

Ich hab's mit Strahlensatz und Pythagoras gemacht:

Die Verlängerungen (v) der Verbindung der Mittelpunkte und (f) von Förderband 1 ergibt die Strahlen. Dann besteht v aus den Teilen v1 und v2=200 sowie f aus den Teilen f1 und f2 (den wi wissen wollen).
Die Radien 70/50 sind das gleiche Verhältnis wie v/v1. Damit ist v1=500 und v=700.

Mit Pythagoras ergibt sich f=696,5.

Und wieder mit Strahlensatz 200/280 = f1/696,5, also f1=199.

Förderband 2 geht analog.

[tfry]

Ich bin ebenfalls mit Pythagoras auf Lösung 10 gekommen.

Es blieb als Rätsel zu ergründen, warum die Elfen ihre Förderbänder gerade so konstruieren wollen. Ich glaube, auch dazu die Lösung gefunden zu haben: Da die transportierten Geschenke rechteckige Grundflächen haben, ist es optimal, die einzelnen Transportwege orthogonal zueinander anzuordnen. Selbstverständlich ist der Dreh- und Angelpunkt des jeweilgen Lagers allein der geheimnisumwitterte Kreismittelpunkt (warum sonst wären die Lager kreisförmig angelegt?). Somit müssen die Bänder also rechtwinklig zum Radius angeordnet sein.

Vordergründing bestünde auch die Möglichkeit, die beiden Lagermittelpunkte einfach geradlinig zu verbinden. Die Verbindung über die zwei tangentialen Förderbänder bietet hier den entscheidenen Vorteil, dass auf dem einen Transportweg die Orientierung des Geschenkes (d.h. welche Seite zum Mittelpunkt zeigt) invertiert wird, auf dem zweiten Transportweg aber nicht.

[ThL]

Für das Förderband 2 habe ich auch den Strahlensatz angewendet. Für Förderband 1 benötige ich den nicht: Das Förderband sehe ich als Grundseite AB eines Vierecks, von der die Radien der Kreise im rechten Winkel als 50m bzw. 70m lange Seiten BC und AD abgehen. Die obere Seite CD dieses Vierecks ist dann die 200m lange Verbindung zwischen den Kreismittelpunkten. Wenn man dann vom Punkt C eine Linie parallel zur Seite AB bis zur Seite AD zieht, ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypothenuse von 200m, einer Kathete von 20m und dem Förderband als zweiter Kathete. Pythagoras liefert dann 199m als Länge des Förderbands.

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 12-12-2024, 08:44 AM von ThL.

[DerAlteHeinz]

Die oben beschriebenen "Pythagoras"-Lösungen haben wahrscheinlich viele gefunden und aus den Texten wiedererkannt. Falls aber jemand doch lieber ein Bild dazu sehen würde, hier hab ich eins gemalt:
Skizze (Kann mir jemand zeigen, wie ich das Bild hier echt einbetten kann?)

Die gelben Linien sind die Radien bzw. einmal der verlängerte Radius. Die grünen Linien sind die an den Radien parallelverschobenen Förderbänder. Hypothenuse ist bei Beiden die 200-m-Strecke. Alles klar?

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 12-11-2024, 08:43 PM von DerAlteHeinz.

[marac]

Die Idee mit der Parallelverschiebung erleichtert die Aufgabe schon ungemein, da bin ich nicht drauf gekommen, doch schon zu lange her 
Wie auch schon genannt, geht es bei Förderband1 narürlich auch mit Verlängerung und Strahlensatz, und bei Förderband2 mit zwei rechtwinkligen Dreiecken jeweils mit dem Radius als einer und dem im Verhältnis der Radien aufgeteilten Abstand als anderer Kathete. Aber genau das macht ja den Kalender auch jedes Jahr aus, die Erkenntnis, dass man es sich oft selbst viel zu schwer macht

[DFUx]

@DerAlteHeinz: Danke für die Ergänzung des Bildes.

[Georg J. aus D.]

Ich fand die Lösung dort.

[Raaadi]

„Scharfes Hingucken“ plus das berühmte Beweisverfahren der unvollständigen Intuition: Förderband 1 muss minimal kürzer sein als 200 m (die Mittelpunkte liegen jeweils senkrecht über den Tangenten-Berührpunkten; die gerade Strecke zwischen den Tangenten-Berührpunkten muss also kürzer sein als die dazu im Vergleich schräge Strecke zwischen den Mittelpunkten von 200 m), und Förderband 2 ein gutes Stück kürzer als 200 m. Die 10 Lösungen ließen nun sofort auf 199 m/160 m schließen.