Lösungsdiskussion

[DFUx]

Wobei es dieses Mal nicht viel zu diskutieren gibt.

gegeben: P(2022) = 25
              r = 2
              C = 200
gesucht: P(2024)
Formel: $P(t+1) - P(t) = (r - \frac{r}{C} \cdot P(t)) \cdot P(t)$
            bzw. $P(t+1) = (r - \frac{r}{C} \cdot P(t)) \cdot P(t) + P(t)$
Rechnung: $P(2023) = (2 -  \frac{2}{200} \cdot 25) \cdot 25 + 25 = 68,75 \approx 68$
                $P(2024) = (2 -  \frac{2}{200} \cdot 68) \cdot 68 + 68 = 157,76 \approx 157$



Verwirrend war nur, dass bereits für 2025 die Formel nicht mehr passt und man mehr als 200 Einwohner erhalten würde.

[marac]

Die Formel passt schon, die Kapazität wird halt etwas überschritten, was dazu führt, dass die Bevölkerung 2026 dann wieder sinkt, und ab da stets um die Kapazitätsgrenze schwingt (mit immer kleinerer Abweichung, aber es dauert einige Tausend Jahre, bis sie quasi konstant wird)

[hg1]

Die Formel passt schon, die Kapazität wird halt etwas überschritten, was dazu führt, dass die Bevölkerung 2026 dann wieder sinkt, und ab da stets um die Kapazitätsgrenze schwingt (mit immer kleinerer Abweichung, aber es dauert einige Tausend Jahre, bis sie quasi konstant wird)

Interessant ist, dass die "Wachstumsrate" r=2 absolut entscheidend für dieses Verhalten ist! Eine (auch winzige) Verkleinerung von r führt zu einer viel schnelleren Konvergenz, während eine Vergrößerung dazu führt, dass die Folge nicht mehr konvergiert, sondern zwischen zwei Grenzwerten pendelt. Und erhöht man r noch weiter, so ab ca. r=2.45, passieren noch wildere Dinge...

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 12-19-2024, 12:29 AM von hg1.

[ukleinek]

Nur um das explizit zu machen: Die richtige Lösung ist damit 8.

[Fanbusfahrer]

Interessant ist, dass die "Wachstumsrate" r=2 absolut entscheidend für dieses Verhalten ist! Eine (auch winzige) Verkleinerung von r führt zu einer viel schnelleren Konvergenz, während eine Vergrößerung dazu führt, dass die Folge nicht mehr konvergiert, sondern zwischen zwei Grenzwerten pendelt. Und erhöht man r noch weiter, so ab ca. r=2.45, passieren noch wildere Dinge...

Das ist wie im echten Leben. Kleine Dinge haben häufig große Wirkung.

[Athene302]

Im Kontinuierlichen wäre das eine logistische Differentialgleichung, und die Lösung würde von einer Seite gegen den Grenzwert konvergieren. Als diskrete Differenzengleichung pendelt es sich erst allmählich um den Grenzwert ein, schießt aber erst einmal übers Ziel hinaus. Interessant.