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Lösungen A19 - pierrot - 12-30-2024
ganz tolle Aufgabe, wie ich finde. Danke Lukas!
Zunächst vermutet man ja, dass man zwei teilerfremde Zahlen braucht, man erwischt hier aber nur eine Teilmenge der Menge aller Zahlentripel, die man knacken kann.
Es reicht tatsächlich: mindestens eine ungerade Zahl. Das Auffinden des Lösungsalgorithmus hat echt Spaß gemacht, dann versteht man auch, warum eine ungerade Zahl von Nöten ist und nur gerade Zahlen eben nicht ausreichen.
Hier mein Lösungsvorschlag:
https://www.dropbox.com/scl/fi/3hr1r0zvtwz834m5ooeva/19_verzahnte-Angelegenheit-Lukas-Protz.jpeg?rlkey=2f8vn1nmh0aqwljl491pymjlq&st=chaa7mzb&dl=0
RE: Lösungen A19 - marac - 12-30-2024
Egal wie die Ausgangsposition ist und egal, wie viele Zähne die Zahnräder haben, es lässt sich die Ausgangsposition immer so umstellen, dass Rad 2 und 3 in Zielposition sind, und nur Rad 1 abweicht (ich drücke halt Taster 3 so oft, bis Rad 2 richtig steht und Taster 2 so oft, bis Rad 3 richtig steht).
Jetzt hat Rad 1 noch x Schritte bis zur Zielposition.
Jetzt kann ich über die Tastendrücke [1], [2] und [3] folgendes sagen:
[1]+[2] = i*c (Die Summe der Tastendrücke auf Taste 1 und 2 muss einem Vielfachen der Zahnanzahl von Rad 3 entsprechen)
[1]+[3] = j*b (Die Summe der Tastendrücke auf Taste 1 und 3 muss einem Vielfachen der Zahnanzahl von Rad 2 entsprechen)
[2]+[3] = k*a + x (Die Summe der Tastendrücke auf Taste 2 und 3 muss einem Vielfachen der Zahnanzahl von Rad 1 plus den fehlenden Schritten von Rad 1 entsprechen)
(alle Variablen ganzzahlig)
Summiere ich diese drei Gleichungen erhalte ich:
2*([1]+[2]+[3]) = i*c + j*b + k*a + x
Sollten nun a, b und c gerade sein, kann diese Gleichung für ein ungerades x nicht gelöst werden -> Damit ist schon mal klar, dass nicht alle drei Werte gerade sein können.
Die interessante Frage ist nur, ob das reicht...
Ich sortiere die Zahnräder so, dass b und c entweder beide gerade oder beide ungerade sind, und dass b>=c ist.
Dann stelle ich - wie oben - die Räder 2 und 3 in Grundstellung.
Jetzt wird mit Taster 3 Rad 2 um b-c Schritte gedreht.
Sollte der Restweg von Rad 1 jetzt aus einer ungeraden Anzahl Schritte bestehen, drehe ich mit Taster 3 Rad 2 einmal komplett herum, da a und b nicht beide gerade sein können, ergibt sich dadurch ein dann gerader Restweg für Rad 1.
Diesen Restweg erledige ich nun halbe/halbe mit Taster 2 und Taster 3, damit ist Rad 1 in Zielposition und Rad 2 und Rad 3 um dieselbe Anzahl Schritte von der Zielposition entfernt. Also noch entsprechend oft Taster 1 drücken und die Kiste ist offen.
(Bei einem sehr kleinen a muss ggf. der Restweg als n komplette Umdrehungen von Rad 1 plus Restweg angenommen werden)