5 Plätzchen mit Glasur überziehen

© Ivana Martic, MATH+

Autoren: Rudolf Straube (Heinrich-Hertz-Gymnasium Berlin) and Arthur Straube (ZIB)

Projekt: AA1-18

Aufgabe

Die Wichtel Bob und Sieglinde saßen am Adventstag zusammen und spielten vergnügt Schach. Plötzlich schlug die Uhr und läutete damit ihre Arbeitsschicht in der Weihnachtsfabrik ein. Ihre Aufgabe in der Weihnachtsfabrik ist es Plätzchen, bestehend aus $10$ quadratischen Feldern, der rechteckigen Formen $1 \times 10$ und $2 \times 5$ mit Glasur zu überziehen, siehe Abbildung 1.

Abbildung 1

Damit die Plätzchen in ihrer Dekoration aber einzigartig bleiben, bestücken Bob und Sieglinde Teilplätzchen mit Glasur nach dem “Weihnachtsschachprinzip”. Wie Schachkönige, die die bis zu acht Felder um sich herum auf einem Schachbrett schlagen können, tragen sie die Glasur nur so auf die Teilplätzchen auf, dass sich keine zwei mit Glasur bedeckten Felder mit einer Kante oder Ecke berühren. Gleichzeitig darf aber keinesfalls noch Platz für ein weiteres Glasurfeld auf dem ganzen Plätzchen bleiben. Optimierung spielt dabei keine Rolle. Es ist also gut möglich, dass in einer Anordnung mehr und in einer anderen weniger Glasurfelder auf das ganze rechteckige Plätzchen gepasst hätten.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Plätzchen der Formen $1\times 10$ und $2\times 5$ mit Glasur zu überziehen? Die Antwort ist in Zahlenpaaren $(M,N)$ anzugeben, wobei $M$ für die Form $1\times 10$ und $N$ für die Form $2\times 5$ steht.

Hinweis: Betrachte nur die Endkonfigurationen. Insbesondere gelten auch Konfigurationen, die durch Drehungen ineinander überführt werden können, als verschieden.

Antwortmöglichkeiten

1. (9, 12)
2. (12, 12)
3. (12, 16)
4. (12, 20)
5. (12, 24)
6. (12, 36)
7. (16, 16)
8. (16, 20)
9. (16, 24)
10. (16, 36)