©Vira Raichenko, MATH+
Autor: Nikola Sadovek (FU Berlin)
Projekt: MATH+
Aufgabe
Die Wichtel waren sehr fleißig in ihren Werkstätten, wo sie alle Geschenke hergestellt und verpackt haben. Jetzt ist es an der Zeit, die Geschenke von den Werkstätten zum Haus des Weihnachtsmanns auf einen Schlitten zu tragen, damit er sie später an die Kinder verteilen kann.
Da ihre Arbeit in den Werkstätten erledigt ist, müssen die Wichtel das Licht ausschalten, bevor sie schließen. Das Beleuchtungssystem in jeder Werkstatt besteht aus n \ge 7 Glühbirnen, die in einer Reihe stehen und von links nach rechts von 1 bis n nummeriert sind. Jede Glühbirne kann sich in einem von zwei Zuständen befinden: eingeschaltet oder ausgeschaltet.
Aufgrund eines technischen Fehlers werden beim Betätigen des Schalters an Glühbirne k, zusätzlich zur Änderung des Zustands dieser Birne (ausgeschaltet wird eingeschaltet und umgekehrt), auch die Zustände der drei Glühbirnen direkt links (nummeriert durch die Indizes k-3, k-2, k-1, die größer als null sind) sowie der drei Glühbirnen direkt rechts von ihr (nummeriert durch die Indizes k+1, k+2 und k+3, die höchstens n sind) geändert.
Wenn beispielsweise der Schalter an der Glühbirne k = 2 gedrückt wird, ändern sich die Zustände der Lampen 1, 2, 3, 4 und 5. Siehe Abbildung 1 zur Veranschaulichung.
Die Wichtel möchten alle Glühbirnen in jeder Werkstatt ausschalten, indem sie eine Abfolge solcher Aktionen verwenden. Für welche Werte von n \ge 7 finden die Wichtel sicher so eine Abfolge (d.h. für jeden möglichen Anfangszustand existiert eine Abfolge, die alle Lichter ausschaltet)?
Mögliche Antworten
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 2 oder 3 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 4 oder 6 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 0 oder 2 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 2 oder 4 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 1 oder 4 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 3 oder 5 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 1 oder 3 bei der Division durch 7 haben
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 0 oder 1 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 0 oder 3 bei der Division durch 7 haben.
- Genau für die Werte von n \ge 7 die den Rest 5 oder 6 bei der Division durch 7 haben.