Weihnachtsmann rot

Aufgabe vom 21. Dezember

Alles muss raus!

Autoren: , Max Klimm

Aufgabe:

Jedes Jahr, wenn sich der Trubel der Weihnachtstage gelegt hat, veranstaltet der Weihnachtsmann eine Versteigerung unter seinen Wichteln, um die vielen zurückgegebenen und nicht angenommenen Geschenke aus dem Lager zu bekommen. Die Wichtel bieten und zahlen mit Tannenzapfen, die beliebig geteilt werden können. Der Weihnachtsmann veranstaltet grundsätzlich Zweitpreisauktionen mit Mindestpreis. Dabei geben alle interessierten Wichtel ihr Gebot verdeckt ab. Es gewinnt das höchste Gebot, sofern es den Mindestpreis erreicht. In diesem Fall ist der Erlös jeweils das Maximum aus dem Mindestpreis und dem zweithöchsten Gebot – sollte es nur ein Gebot geben, dann muss eben der Mindestpreis gezahlt werden. Diesen Erlös erhält der Weihnachtsmann als Gutschrift für die Geschenke zum kommenden Weihnachtsfest.

  1. Der erste Artikel, der zur Versteigerung kommt, ist eine geschmacklose Vase. Nur Wichtel Cato hat daran Interesse. Aus Erfahrung ist bekannt, dass Cato jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 einen oder zwei Tannenzapfen bieten wird.

  2. Der zweite Artikel ist ein Sockensortierer. Nur Wichtel Luca hat daran Interesse. Luca bietet jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 einen, zwei oder drei Tannenzapfen.

  3. Der dritte Artikel ist ein solarbetriebener Briefbeschwerer. Nur Wichtel Elisa und Frana haben daran Interesse. Elisa bietet jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 einen oder drei Tannenzapfen. Frana bietet jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 zwei oder vier Tannenzapfen. Beide Wichtel bieten unabhängig voneinander.

  4. Der vierte Artikel ist ein getöpferter Blumenstrauß. Es hat wiederum nur Cato daran Interesse. Er wird jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 einen oder zwei Tannenzapfen bieten. Catos Interesse an dem Blumenstrauß ist unabhängig von seinem Interesse an der geschmacklosen Vase.

Der Weihnachtsmann macht sich nun einige Gedanken darüber, wie er jeweils die Mindestpreise für vier Auktionen wählen sollte, damit der zu erwartende Erlös möglichst groß ist. Dabei ist der erwartete Erlös einer Auktion mit Mindestpreis die Summe aller möglichen Erlöse dieser Auktion jeweils multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Erzielen dieses Erlöses. Folgende Hypothesen hat der Weihnachtsmann sich zu den vier Auktionen aufgeschrieben:

  1. Für die erste Auktion ergibt ein Mindestpreis von 2 einen erwarteten Erlös von 1.

  2. Für die erste Auktion ist der Mindestpreis von 2 optimal, das heißt, es gibt keinen anderen Mindestpreis, der einen echt größeren erwarteten Erlös erwirtschaftet

  3. Für die dritte Auktion ist der Mindestpreis von 4 optimal.

  4. Der erwartete Erlös der zweiten Auktion mit optimalem Mindestpreis ist geringer als der der dritten Auktion mit einem Mindestpreis von 0.

  5. Anstatt Vase und Blumenstrauß einzeln zu verkaufen, könnte man auch beide Artikel zusammen als Bündel verkaufen. Nimmt man an, dass Cato auf das Bündel die Summe der Gebote der darin enthaltenen Artikel bietet, so ergibt ein Mindestpreis von 3 für das Bündel einen erwarteten Erlös von 9/4.

  6. Der Mindestpreis von 3 ist für das Bündel optimal.

  7. Angenommen Cato bietet in der ersten und in der vierten Auktion jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 einen oder vier Tannenzapfen. Dann ist es besser, die Artikel zusammen im Bündel zu verkaufen als beide Artikel einzeln (wobei wir jeweils den erwarteten Erlös zum jeweiligen optimalen Mindestpreis betrachten).

Welche der Aussagen (A) bis (G) sind korrekt?

Illustration: Friederike Hofmann

Die Aufgabe als PDF runterladen

Antwortmöglichkeiten:

  1. Keine der Aussagen (A) bis (G) ist korrekt.

  2. Nur die Aussagen (A) und (B) sind korrekt.

  3. Nur die Aussagen (A), (B) und (C) sind korrekt.

  4. Nur die Aussagen (A), (B) und (D) sind korrekt.

  5. Nur die Aussagen (A), (B), (D) und (E) sind korrekt.

  6. Nur die Aussagen (A), (B), (C), (D) und (E) sind korrekt.

  7. Nur die Aussagen (A), (B), (D), (E) und (F) sind korrekt.

  8. Nur die Aussagen (A), (B), (E), (F) und (G) sind korrekt.

  9. Nur die Aussagen (A), (B), (D), (E), (F) und (G) sind korrekt.

  10. Jede der Aussagen (A) bis (G) ist korrekt.

Sie müssen sich einloggen um die Aufgaben abgeben zu können.