Weihnachtsmann rot

Aufgabe vom 23. Dezember

Weihnachtskrimi

Autor: Axel Flinth

Projekt: AG Kutyniok

Aufgabe:

In der arbeitsintensiven Adventszeit ließen die Rentiere des Weihnachtsmannes den Abend gern mit einem Glas Glühwein gemütlich ausklingen. Dementsprechend haben sie ein riesiges Lager, in dem sie jede Menge des süßen Getränks lagerten.

Eines Nachts beobachteten die Rentiere, wie zwei - und zwar genau zwei - Weihnachtsmannelfen etwas aus dem Lager stahlen. Als der Weihnachtsmann davon erfuhr, leitete er sofort eine Ermittlung zur Klärung des Straftatbestandes ein. Schnell konnte er eine kleine Gruppe von Elfen ermitteln, zu der die Diebe sicher gehörten.

Die Elfen dieser Gruppe waren aber sehr gute Freunde und wollten nicht, dass der Weihnachtsmann herausfand, wer die Straftat begangen hatte. Ihnen wäre es am liebsten, der Weihnachtsmann erführe gar nicht, wer wie viel gestohlen hat. Jedoch ist der Weihnachtsmann nach dem Weihnachtsrecht verpflichtet, diese Untersuchung durchzuführen und die Elfen zu dem Diebstahl zu befragen. Und ein Gesetz besagt, dass Elfen nicht lügen dürfen.

Um es dem Weihnachtsmann aber so schwer wie möglich zu machen, überlegen die Elfen sich Folgendes: Der Weihnachtsmann ist zwar berechtigt, die Elfen zu befragen, aber es ist im Weihnachtsrecht nicht festgelegt, auf welche Art und Weise genau dies geschehen soll. Die Elfen werden daher nur in Paaren antworten und zwar nur wie viel sie gemeinsam stahlen. Da die Elfen in der Adventszeit auch viel zu tun haben, musste der Weihnachtsmann ferner einen Tag vorher festlegen, welche Paare er zu fragen beabsichtige, damit die Elfen die Verhöre in ihren Tagesabläufen sinnvoll einplanen konnten. Er durfte also die Wahl der Paare nicht von den Antworten abhängig machen, die er schon bekommen hatte. Der Weihnachtsmann überlegt sich einen guten strategischen Plan für die drei Fälle, dass die Gruppe der verdächtigen Elfen aus i) genau drei, ii) genau vier und iii) genau fünf Elfen besteht.

Daraus ergibt sich folgende Frage:

Untersuchen Sie für alle drei Fälle, wie viel Fragen der Weihnachtsmann mindestens stellen muss, um sicher herauszufinden, wer wie viel gestohlen hat. (Letzteres ist wichtig, um die Schulden an die Rentiere gerecht zurück zu zahlen.)
Das Ergebnis A ist der folgenden Form gegeben A = (Fall i), Fall ii), Fall iii)).

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Antwortmöglichkeiten:
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  1. A = (1,2,3)

  2. A = (1,2,4)

  3. A = (2,2,3)

  4. A = (2,3,4)

  5. A = (2,3,5)

  6. A = (2,4,5)

  7. A = (3,3,4)

  8. A = (3,4,5)

  9. A = (3,4,6)

  10. A = (4,5,5)

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Projektbezug:

In vielen Anwendungen der Mathematik sind oft Lösungen von Gleichungssystemen, in denen nur wenige der beteiligten Variablen ungleich null sind (d.h. dünn besetzt bzw. sparse), von besonderer Bedeutung. Solche Lösungen lassen sich in der Tat oft mit deutlich weniger Gleichungen ermitteln als allgemeine Lösungen - das ist die Hauptbotschaft der sogenannten Compressed Sensing-Theorie.